BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ THU HẰNG
DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON
BẰNG QUANG HỌC TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
VỚI THẾ GIAM GIỮ DẠNG BÁN PARABOL
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
TS. LÊ ĐÌNH
Huế, năm 2011
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công
trình nghiên cứu nào khác.
Tác giả luận văn
Trần Thị Thu Hằng
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Tiến sĩ Lê
Đình, người thầy với sự quan tâm thường xuyên và tận tụy, với tấm lòng
nhiệt thành, đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu, hướng
dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở khoa Vật Lý và phòng
Sau Đại Họ c - trường Đại Học Sư Phạm Huế, Ban giám hiệu trường Trung
học phổ thông Hương Trà đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoàn
1
Chương 2. KẾT QUẢ GIẢI TÍCH 26
2.1. Biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến tính . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Biểu thức tường minh của tenxơ độ dẫn tuyến tính 26
2.1.2. Biểu thức của hàm dạng phổ . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Biểu thức của công suất hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1. Biểu thức của phần tử ma trận của mật độ dòng điện 38
2.2.2. Tốc độ hồi phục của electron trong dây lượng tử thế
bánparabol 40
Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 50
3.1. Điều kiện cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử
thế bán parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
tần số của photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
tần số đặc trưng của dây lượng tử . . . . . . . . . . 53
3.2.3. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
nhiệtđộ 55
KẾTLUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
PHỤ LỤC 64
2
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
3.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường
ngoài ứng với với nhiệt độ 150K (đường màu xanh), 200K
(đường màu đỏ), 250K (đường màu đen). 52
3.2 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường
ngoài với nhiệt độ 97K và ω
x
Ngày nay, việc nghiên cứu cấu trúc với khí điện tử thấp chiều trở
thành một mũi nhọn của vật lý và có quan hệ rất chặt chẽ với sự phát triển
mạnh mẽ, sâu rộng của các lĩnh vực công nghệ. Với sự phát triển cao của
kỹ thuật trong nuôi tinh thể như epitaxy chùm phân tử (MBE: Molecules
Beam Epitaxy) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCVD: Metal - Organic
Chemical Vapor Deposition) [11], người ta đã tạo ra rất nhiều hệ bán dẫn
với kích thước nằm trong khoảng từ 0,1 đến 100nm. Ngành khoa học và
công nghệ nghiên cứu, chế tạo ra các cấu trúc này được gọi là ngành công
nghệ nano. Sự phát triển của ngành khoa học, công nghệ này là một tiên
lượng tốt đẹp cho sự phát triển của các lĩnh vực khoa học, công nghệ ở thế
kỉ 21.
Có thể kể đến một số cấu trúc thấp chiều: cấu trúc phẳng hai chiều
như siêu mạng hay giếng lượng tử (quantum wells), cấu trúc một chiều-
dây lượng tử (quamtum wires) và cấu trúc không chiều-chấm lượng tử
(quantum dots). Trong các cấu trúc có kích thước nhỏ và thấp chiều như
trên, các qui luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông qua sự biến
đổi đặc trưng phổ năng lượng. Phổ năng lượng của các hệ điện tử trở nên
gián đoạn dọc theo phương giam giữ của điện tử. Ngày nay, việc nghiên
cứu hiện tượng chuyển tải electron trong trường điện từ mạnh, nghiên cứu
tính chất quang trong hệ điện tử thấp chiều, đang tiếp tục được hoàn
thiện.
Trên phương diện nghiên cứu lý thuyết, những vấn đề trên được giải
quyết theo quan điểm lượng tử bằng cách sử dụng nhiều phương pháp khác
nhau như lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp phương trình động lượng tử,
4
lý thuyết hàm Green hoặc phương pháp chiếu toán tử. Vì mỗi phương
pháp đều có ưu điểm cũng như nhược điểm riêng của nó nên việc sử dụng
phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể đánh giá tuỳ vào bài toán cụ thể.
Một trong những thành tựu đáng kể trong việc nghiên cúu lý thuyết và
thực nghiệm trong những năm gần đây là nghiên cứu dịch chuyển electron
nance) liên quan đến tính kỳ dị của mật độ trạng thái trong hệ một chiều.
Khi hiệu số hai mức năng lượng của electron bằng năng lượng phonon cùng
với điều kiện thế đặt vào đủ lớn thì sẽ xảy ra sự cộng hưởng EPR [33][36].
Nếu quá trình hấp thụ LO-phonon có sự hấp thụ hoặc phát xạ photon thì
ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon dò tìm quang học (Optically
detected electron-phonon resonance-ODEPR)[36]. Hiện tượng EPR được
bắt đầu nghiên cứu kể từ năm 1972 bởi Bryskin và Firsov cho trường hợp
bán dẫn không suy biến đặt trong điện trường mạnh. Cho đến nay đã có
một số công trình nghiên cứu vấn đề này, chẳng hạn nhóm của Sang Chil
Lee và đồng nghiệp [33]; nhóm Se Gi Yu [44].
Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong các thiết bị lượng tử
hiện đại đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiểu biết tính chất chuyển tải
lượng tử của hạt tải điện trong bán dẫn. Hiện tượng EPR/ODEPR tương
đương với hiện tượng cộng hưởng từ (MPR/ODMPR - magnetophonon res-
onance/optically detected magnetophonon resonance) được quan sát trực
tiếp qua việc nghiên cứu độ rộng vạch phổ và khối lượng hiệu dụng trong
cộng hưởng electron - cyclotron trong bán dẫn khối GaAs [20] và trong
bán dẫn hai chiều GaAs/AlxGa1-xAs. Hiện tượng này cho phép đo được
6
cường độ tán xạ đối với các mức Landau cụ thể, từ đó cung cấp thông tin
về bản chất của tương tác electron-phonon trong bán dẫn. Vì vậy, nghiên
cứu hiệu ứng EPR/ODEPR cũng sẽ cho ta thu được các thông tin của hạt
tải và phonon.
Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong bán dẫn dây lượng tử
đang là vấn đề thời sự nóng hổi hiện nay, vì nó sẽ góp phần làm sáng tỏ các
tính chất mới của khí electron chuẩn 1 chiều dưới tác dụng trường ngoài,
từ đó cung cấp thông tin về tinh thể và tính chất quang của dây lượng
tử bán dẫn cho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử và quang
tử. Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dò tìm
cộng hưởng electron-phonon bằng quang học trong dây lượng tử
- ThS Trương Hồng Nhung với đề tài "Áp dụng kĩ thuật chiếu cô lập
để nghiên cứu cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn hố lượng tử với thế
parabol và bán parabol". Trong đó, đề tài sử dụng kỹ thuật chiếu cô lập
tính công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn hố lượng tử
thế parabol và bán parabol. Cuối cùng là tích số và so sánh với các nghiên
cứu lý thuyết khác và với kết quả thực nghiệm [12].
- ThS Trần Thị Phú với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết để phát hiện cộng
hưởng electron-phonon trong hố lượng tử sâu vô hạn bằng quang học". Sử
8
dụng toán tử chiếu để tìm biểu thức hàm độ rộng phổ, từ đó tìm điều kiện
xảy ra và khảo sát các đặc điểm của cộng hưởng electron - phonon (EPR)
cho bán dẫn hố lượng tử sâu vô hạn. Tính số cho bán dẫn thực, khảo sát
đặc tính hiệu ứng ODEPR theo nhiệt độ, độ rộng hố lượng tử và theo tần
số của điện trường ngoài [13].
+ Năm 2009 có:
- ThS Lê Văn Hưng với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết về cộng hưởng
electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ với thế vô hạn". Trong luận
văn này sử dụng phưng pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để tìm biểu
thức tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ trong dây lượng tử hình trụ thế
vô hạn do tương tác electron-phonon, xác định điều kiện có cộng hưởng
electron-phonon và các phương pháp để phát hiện hiệu ứng này [10].
- ThS Nguyễn Ngọc Hoàn với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết cộng hưởng
electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ thế parabol". Luận văn đã sử
dụng phương pháp toán tử chiếu cô lập tìm biểu thức tenxơ độ dẫn và công
suất hấp thụ từ đó tìm điều kiện xảy ra hiện tượng cộng hưởng electron-
phonon khảo sát độ rộng phổ và đường cộng hưởng electron-phonon trong
dây lượng tử hình trụ thế parabol theo nhiệt độ, kích thước dây và tần số
của điện trường ngoài [8].
- ThS Nguyễn Đình Hiên với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết về cộng
hưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật" đã sử dụng
- Sử dụng các phương pháp lý thuyết phản ứng tuyến tính và phương
pháp chiếu toán tử độc lập trạng thái.
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
6. Giới hạn luận văn
- Chỉ xét đến tương tác electron-phonon, bỏ qua các tương tác cùng
loại (electron-electron, phonon-phonon).
- Chỉ xét thành phần tuyến tính của độ dẫn.
- Khảo sát trường hợp phonon quang không phân cực.
7. Bố cục luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, và phụ lục, nội
dung của luận văn gồm có ba phần chính được thể hiện thành ba chương.
Chương một trình bày những vấn đề tổng quan. Chương tiếp theo tìm biểu
thức tenxơ độ dẫn tuyến tính và công suất hấp thụ. Chương cuối là kết
quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận.
11
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT VÀ
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương này trình bày tổng quan về bán dẫn dây lượng tử, Hamil-
tonian của hệ electron-phonon khi có mặt trường ngoài, thừa số
dạng của tương tác electron-phonon trong dây lượng tử thế bán
parabol, lý thuyết phản ứng tuyến tính và phương pháp chiếu toán
tử độc lập trạng thái.
1.1. Tổng quan về dây lượng tử thế bán parabol
1.1.1. Tổng quan về dây lượng tử
Dây lượng tử là một cấu trúc vật liệu trong đó chuyển động của điện
tử bị giới hạn theo hai chiều kích cỡ nanô mét ( thường chọn là hướng x
và y) , chỉ chuyển động tự do theo một chiều còn lại (hướng z), vì thế hệ
điện tử còn được gọi là khí điện tử một chiều.
Vì dây lượng tử là cấu trúc một chiều nên các hiệu ứng lượng tử thể
phương trình (1.1) có thể tách thành hai phương trình:
∆
z
ψ(z)+
2m
e
2
ε
z
ψ(z)=0 (1.2)
∆
x,y
ψ(x, y)+
2m
e
2
(ε
x,y
− U(x, y))ψ(x, y)=0, (1.3)
trong đó ψ(z) và ε
z
lần lượt là hàm sóng và năng lượng của electron theo
phương z; ψ(x, y),ε
x,y
lần lượt là hàm sóng và năng lượng của electron
trong mặt phẳng (x, y).
Theo cơ học lượng tử, phương trình (1.2) có nghiệm:
13
phụ thuộc vào dạng của thế năng U(x, y).
Trong trường hợp bài toán của chúng ta, điện tử chỉ chuyển động theo
một phương (ta chọn là phương z) và bị giới hạn theo hai phương còn lại
(ta chọn là phương x,y) bởi thế năng giam giữ bán parabol có dạng:
U(x)=
∞ khi x<0
1
2
mω
2
x
x
2
khi x>0,
(1.4)
U(y)=
∞ khi y<0
1
2
mω
ψ(x,y,z)=
1
L
z
e
ik
z
z
ψ(x, y), (1.7)
Vì hai phương x và y là độc lập nhau nên năng lượng và hàm sóng của
điện tử bị giam giữ trong mặt phẳng (x,y) có thể viết dưới dạng:
E
n
x
,n
y
= ε
n
x
+ ε
n
y
, (1.8)
ψ(x, y)=ψ
n
x
(x)ψ
n
y
y
(y)+
2m
e
2
ε
n
y
−
1
2
mω
2
y
ψ
n
y
(y)=0 (1.11)
(xem phụ lục 1) ta tìm được biểu thức của ψ
n
x
(x),ψ
n
y
(y),ε
n
x
) (1.12)
ψ(x, y)=ψ
n
x
(x)ψ
n
y
(y)
= C
n
x
C
n
y
.e
[(A
x
x)
2
+A
y
y)
2
]
2
H
2n
x
+1
(A
+ 1)!
1
2
e
−
m
2
(ω
x
x
2
+ω
y
y
2
)
× H
2n
x
+1
mω
x
1
2
x
z
2m
+ ε
n
x
+ ε
n
y
=
2
k
2
z
2m
e
+ ω
x
(2n
x
+
3
2
)+ω
y
(2n
y
+
3
2
e
−
(A
x
x)
2
+(A
y
y)
2
2
H
2n
x
+1
(A
x
x)H
2n
y
+1
(A
y
y)e
ik
z
z
=
−
m
e
2
(ω
x
x
2
+ω
y
y
2
)
× H
2n
x
+1
m
e
ω
x
1
2
x
.H
1
2
,A
y
=(
m
e
ω
y
)
1
2
.
15
1.1.3. Biểu thức của thừa số dạng đối với tương tác electron-
phonon trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán
parabol
Khi nghiên cứu các tính chất động, tốc độ tán xạ electron-phonon,
của các cấu trúc bán dẫn thấp chiều, thừa số dạng G là đại lượng rất quan
trọng. Trong các công trình nghiên cứu trước đây, để đơn giản cho tính
toán, người ta cho thừa số dạng là một hằng số không thay đổi. Tuy nhiên,
các nghiên cứu gần đây cho thấy rằng thừa số dạng là một đại lượng phức
tạp. Đối với mỗi loại vật liệu, hình dạng vật liệu hoặc đối với các phonon
khác nhau sẽ có thừa số dạng khác nhau. Cho nên, đối với các bài toán
tán xạ, ta cần phải thiết lập được biểu thức tổng quát rồi sau đó áp dụng
để tính đối với từng trường hợp cụ thể.
Để xác định biểu thức của thừa số dạng, ta đưa ra tích phân bao phủ
G được cho bởi công thức sau:
G = β | e
(A
x
x)
2
+(A
y
y)
2
2
× H
2n
xβ
+1
(A
x
x)H
2n
yβ
+1
(A
y
y)
× e
i(q
x
x+q
y
y+q
z
x)H
2n
yα
+1
(A
y
y)
=
∞
0
1
L
z
e
i(k
z
+q
z
−k
zβ
)z
dz
× C
n
xβ
C
n
xα
∞
0
exp
iq
y
y − (A
y
y)
2
H
2n
yβ
+1
(A
y
y)H
2n
yα
+1
(A
y
y)dy
16
= G
1
× G
2
xα
∞
0
exp[iq
x
x − (A
x
x)
2
]H
2n
xβ
+1
(A
x
x)H
2n
xα
+1
(A
x
x)dx
=
√
π
A
x
C
n
2(n
xβ
−n
xα
)
2n
xβ
+1
(
q
2
x
2A
2
x
)
G
3
= C
n
yβ
C
n
yα
∞
0
exp[iq
y
y − (A
+2
(2n
yα
+ 1)!exp(−
q
2
y
4A
2
y
)(−
q
2
y
4A
2
y
)
n
yβ
−n
yα
× L
2(n
yβ
−n
yα)
2n
yβ
+1
× I
= δ
k
zα
+q
z
,k
zβ
1
L
z
π
A
2
x
C
n
xβ
C
n
xα
C
n
yβ
C
n
yα
2
2n
)
n
yβ
−n
yα
exp(−
q
2
x
4A
2
x
)exp(−
q
2
y
4A
2
y
)
× L
2(n
xβ
−n
xα
)
2n
xβ
+1
(
L
z
π
A
2
x
C
n
xβ
C
n
xα
C
n
yβ
C
n
yα
2
2n
xβ
+2
2
2n
yβ
+2
(2n
xα
+ 1)!(2n
yα
x
)exp(−
q
2
y
4A
2
y
)
17
× L
2(n
xβ
−n
xα
)
2n
xβ
+1
(
q
2
x
2A
2
x
)L
2(n
yβ
−n
−iωt
e
l
,
với e
l
, E
l
và ω lần lượt là vectơ đơn vị, biên độ và tần số vòng của điện
trường theo phương l.
Hamiltonian toàn phần của hệ electron-phonon trong biểu diễn lượng
tử hóa lần thứ hai được xác định bởi biểu thức [24], [28]
H(t)=H
eq
+ H
int
(t), (1.20)
trong đó H
eq
và H
int
(t) tương ứng là phần cân bằng và không cân bằng
của Hamiltonian.
Gọi |α và |α
là trạng thái của electron trước và sau khi tương tác với
phonon trong dây lượng tử. Nếu bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại
thì Hamiltonian cân bằng của hệ bao gồm Hamiltonian của hệ electron,
phonon tự do có dạng chéo H
d
,
H
ph
=
q
ω
q
b
+
q
b
q
,
H
e−ph
=
αα
,q
C
αα
(q)a
+
α
a
α
(q) là yếu tố ma trận tương
tác electron-phonon và có dạng:
C
αα
(q)=α|C
q
e
iqr
|α
= C
q
I
αα
(q), (1.23)
với C
q
là hằng số tương tác điện tử phụ thuộc vào loại phonon và I
αα
(q)
là thừa số dạng của electron trong dây lượng tử.
Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo
thời gian được cho bởi [40]
H
int
(t)=−
i
n=1
<A
n
>=
∞
n=1
T
R
Aρ
n
(t), (1.26)
trong đó T
R
A là vết của nhiều hạt của toán tử A và ρ
n
(t) là toán tử ma
trận mật độ. Giả sử rằng ban đầu, khi chưa có điện trường ngoài, hệ ở
trạng thái cân bằng nhiệt động có toán tử mật độ là ρ
eq
. Khi có mặt điện
trường ngoài phụ thuộc thời gian, toán tử mật độ được khai triển thành
hai thành phần
ρ(t)=ρ
eq
+ ρ
int
(t), (1.27)
trong đó ρ
int
(t), ρ(t) ở (1.27) vào (1.28) sau đó khai triển các số hạng với chú
ý rằng toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian ta thu được
biểu thức:
i
∂ρ
eq
∂t
+i
∂ρ
int
(t)
∂t
=[H
eq
,ρ
eq
]+[H
int
(t),ρ
eq
]+[H
eq
,ρ
int
(t)]+[H
int
(t),ρ
int
(t)].
(t)]. (1.30)
Trong biểu diễn Dirac, [29] toán tử mật độ dòng được định nghĩa
như sau:
ρ
D
int
(t)=e
i
H
eq
t
ρ
int
(t)e
−
i
H
eq
t
. (1.31)
Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế phương trình (1.31) và chú ý đến (1.29)
ta thu được kết quả (xem Phụ lục 3):
i
∂ρ
D
int
(t)
∂t
.(1.32)
Áp dụng tính chất được chứng minh ở Phụ lục 4, một toán tử A không
phụ thuộc thời gian thỏa mãn A
(t)|
t=0
=0thì:
e
i
H
eq
t
Ae
−
i
H
eq
t
= e
i
L
eq
t
A,
ta được:
i
∂ρ
=
0:
ρ
D
int
(t)=
1
i
t
−∞
e
i
L
eq
t
1
L
int
(t
1
)ρ
eq
dt
1
+
1
i
∞
0
e
−
i
L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)ρ
eq
du
1
+
1
i
∞
0
e
−
i
L
e
−
i
L
eq
u
2
L
int
(t − u
1
− u
2
)ρ
eq
du
2
+
1
i
∞
0
e
−
i
L
eq
∞
0
e
−
i
L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)ρ
eq
du
1
+
1
(i)
2
∞
0
du
1
∞
0
+
1
(i)
2
∞
0
du
1
∞
0
du
2
e
−
i
L
eq
u
1
L
int
(t − u
1
)e
−
i
n
)
ta được biểu thức khai triển của ma trận mật độ đến số hạng thứ n
ρ
int
(t)=
∞
n=1
1
(i)
n
∞
0
du
1
∞
0
du
2
∞
0
du
n
e
−
L
eq
u
n
L
int
(t − u
1
− u
2
− u
n
)ρ
eq
=ρ
(1)
(t)+ρ
(2)
(t)+ + ρ
(n)
(t), (1.33)
trong đó, ρ
(n)
(t) chứa n lần toán tử L
int
(t).
Trung bình theo tập hợp thống kê của thành phần thứ k của toán tử
mật độ dòng điện
J có dạng:
Copyright: Tài liệu đại học ©