Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
MỤC LỤC
Trang
Lí do chọn đề tài 1
Chương 1 2
Chương 2 12
Kết luận 20
Tài liệu tham khảo 21
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi đại học cao đẳng, bồi dưỡng học sinh
giỏi cho các em hoc sinh về phần phương trình và hệ phương trình, tôi gặp
một số phương trình và hệ phương trình mà các phương pháp giải đã được đề
cập trong sách giáo khoa ở lớp 10 hiện hành không thể giải được hoặc việc
giải chúng theo phương pháp này là rất khó khăn và dài dòng.
Chẳng hạn, phương trình:
2 2
2010(1 2010 ) 1x x− + =
(1)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011)
Hay hệ phương trình:
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Để giải một phương trình hay hệ phương trình, thông thường ta tìm cách
đưa phương trình hay hệ phương trình đó về dạng quen thuộc đã biết cách
giải, thường là phương trình bậc hai, hay một hệ phương trình đơn giản.
Ngoài cách sử dụng các phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ cũng là một
cách để đưa phương trình và hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn.
Phương pháp giải một số dạng phương trình và hệ phương trình đơn giản
thường gặp:
1/
[ ]
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
≥


= ⇔

=


2/ Phương trình đẳng cấp bậc hai:
2 2
. 0, , ,au bu v cv a b c R+ + = ∈
Cách giải: Xét v = 0, kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không

vậy cần thay đổi và bổ sung một số kĩ thuật sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
để giải quyết được những phương trình và hệ phương trình phức tạp.
Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 10, 11, 12 của trường về khả năng
vận dụng các kiến thức đã học trong chương trình sách giáo khoa để giải các
bài tập phương trình và hệ phương trình trong kì thi học sinh giỏi cấp trường
năm học 2009-2010, tôi thu được mẫu số liệu sau:
Số học sinh giải được Số học sinh không giải được
Khối 10 2/15 13/15
Khối 11 3/10 7/10
Khối 12 4/10 6/10
2.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 5 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2
2010(1 2010 ) 1x x− + =
(1)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-
2011)
Giải: Đặt
2
1 2010t x= −
, ta được hệ:
2
2
2010 1 ( )
2010 1 ( )
t x a
x t b

− ±
+ − = ⇔ =
+ Với
1
2010
t x= −
, từ (a) ta được
2
2009 1 8037
2010 0
2010 4020
x x x
±
− − = ⇔ =
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1 8041
4020
x
− ±
=
;
1 8037
4020
x
±
=
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3
3
3 3 2 2 0x x− − + =

Với t = x thay vào (a) ta được:
2
1
3 2 0
2
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
1; 2x x= = −
Nhận xét: Với hai phương trình trên, nếu sử dụng cách đặt ẩn phụ thông
thường, hay bằng phép biến đổi tương đương, thì bài toán trên nên rất phức
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 6 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
tạp, và không thể đưa được về dạng quen thuộc, thậm chí còn dẫn đến một
phương trình phức tạp hơn. Việc sử dụng cách đặt ẩn phụ mà ta coi ẩn phụ
cùng với ẩn ban đầu của phương trình như là hai ẩn của một hệ phương trình
giúp ta đưa bài toán về được dạng quen thuộc ngay. Cách làm này khá thú vị
và giúp cho học sinh có một cách tư duy mới trong quá trình giải toán.
Ngoài ra cách đặt ẩn phụ như trên còn giúp ta có thể sáng tác ra được
những phương trình mới từ việc xét một hệ phương trình đối xứng loại 2 quen
thuộc. chẳng hạn, xét hệ phương trình:
2
2

y
+
=
rút
từ phương trình thứ nhất của hệ, rồi thế vào phương trình thứ hai ta lại được
một phương trình vô tỷ
2
2 1
5 2 1
5
x
x
+
= +
. Cứ như thế ta có thể tạo ra được
nhiều phương trình mới từ những hệ phương trình quen thuộc
Từ những nhận xét trên, giúp ta có thể đưa ra cách giải phương trình dạng
tổng quát sau:
* Dạng tổng quát: :
( ) ' ' , , 2
n
n
ax b p a x b qx r n N n
+ = + + + ∈ ≥
Cách giải: Đặt
' '
n
a x b ay b+ = +
nếu p.a’ > 0
Đặt

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 đã biết cách giải.
Giải hệ trên tìm được
2
3
u
v
=


=

hoặc
3
2
u
v
=


=

Từ đó tìm được phương trình (3) có 4 nghiệm
6; 1x x= ± = ±
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
2 2
4 2 2
2 3 15 0
2 4 5 0
x y x y
x y x y

+ + = − + − + =
 
⇔ ⇔
 
− + − = − + − =
 
 
Đặt
2
1; 2; 1u x v y u= − = − ≥ −
, ta được hệ:
2 2
( 4)( 4) 21
10
u v
u v
+ + =


+ =

. Đây là hệ
phương trình đối xứng loại 1, giải hệ này ta được
3
1
u
v
=



 

+ + + =
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷

 
   

(III)
(Đề Olympic 30/4 lớp 10 năm 2009-2010)
Giải: Điều kiện
0, 0x y≠ ≠
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
Đặt
3
3
1 1
,u v
x y
= =
. Ta được hệ
3 3
9
( )(1 )(1 ) 18
u v
u v u v


c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình bậc hai, bậc ba:
Ví dụ 6: Giải phương trình:
3
1 2 3x x+ + − =
(4)
Giải: Điều kiện:
1x ≥ −
. Đặt
3
1 , 2, 0u x v x u= + = − ≥
Ta được hệ phương trình:
2 3
3
3
u v
u v
+ =


− =

. Dễ dàng giải được hệ này bằng
phương pháp thế, và tìm được
1; 2v u= =
. Từ đó tìm được x =3.
Nhận xét: Với phương trình (4) việc sử dụng phương pháp biến đổi tương
đương sẽ làm bài toán phức tạp, sử dụng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương
trình cho ta lời giải hay và đơn giản hơn nhiều. Đặc biệt với những bài toán có
chứa căn bậc cao (căn bậc 4, căn bậc 5,…) thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về
hệ tỏ ra hiệu quả hơn rất nhiều.

2 2
( 2) ( 2 4) 6x x x x x+ + − + = − +
* Dạng tổng quát:
P(x)+ Q(x)+ P(x).Q(x) 0
α β γ
=
(phương trình đẳng cấp)
e) Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” đưa về phương trình bậc hai:
Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” là dùng một ẩn phụ t, đồng thời ẩn cũ vẫn còn
tồn tại trong phương trình mà ta coi nó như là một tham số, để phương trình
thu được có dạng quên thuộc.
Ví dụ 8: Giải phương trình:
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x+ − = + − + −
(6)
Giải: Điều kiện:
1 1x− ≤ ≤

Phương trình
4 1 2 2 (1 ) 2 1 1 . 1x x x x x x⇔ + − − + − = − + + −
Đặt
1 , 0 2t x t= − ≤ ≤
.
Khi đó ta được phương trình:
( ) ( )
2
2 1 2 1 2 1 0t x t x x− + + − + − + =
(6’)
Ta coi phương trình (6) là phương trình bậc 2 với ẩn t còn x coi như tham số,
phương trình này có biệt thức

A
thì bài
toán vẫn chưa giải quyết được, cần phải tìm hướng giải quyết khác.
Đôi khi ý tưởng trên còn được vận dụng vào việc giải hệ phương trình
Chẳng hạn, giải hệ phương trình:
2
3
( 3) 4 3
2 2 3
y y x y
y x

+ − − = −


− + − =


(IV)
Với hệ này, chúng ta phải bắt đầu biến đổi từ phương trình thứ nhất, tất nhiên
là cần tìm mối liên hệ bậc nhất giữa x và y. Tuy nhiên việc phân tích phương
trình thứ nhất thành nhân tử không phải là việc làm đơn giản. Với ý tưởng coi
phương trình
2
( 3) 4 3y y x y+ − − = −
là phương trình bậc 2 theo y, ta viết lại
thành
2
( 4) 3 3 0y x y x+ − + − =
, có biệt thức

6)
2 2
16 8 3 3 4x x x x− − = + −
Đặt y =
2
3 4x x+ −
7)
2
4 3 1 5 13x x x+ + + =
Đặt
3 1 (2 3)x y+ = − −
8)
2
32 32 2 15 20x x x+ = + +
Đặt
2 15 4 2x y+ = +
9)
2
2 1 3 1 0x x x− + − + =
(THTT 8/2011) Đặt
2 1 ( 1)x y− = − −
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
10)
2
3
2 4
2
x
x x

x x
x x
− +
+ =
− +
Bài tập2: Giải các phương trình sau:
18)
2 2 2 3
2( 1) 7( 1) 13( 1)x x x x+ + − − = −
19)
2 2
3( 1) 2( 1) 7 ( 1)( 1)x x x x x x
− + + + = − + +
20)
2 3
2 5 1 7 1x x x+ − = −
21)
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
(HSG lớp11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2011-2012)
22)
2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
23)
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +
24)
2
2 2 2 4 2 2x x x x− − + = − − +
25)

(Học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2003-2004)
2.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Qua hai năm triển khai thực hiện thử nghiệm đề tài, tôi nhận thấy: sau
khi áp dụng phương pháp nói trên để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi
cấp tỉnh, phần lớn các em trong đội tuyển đều nắm được phương pháp và vận
dụng tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Kết quả cụ thể như sau:
Qua khảo sát học sinh về khả năng vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ để
giải phương trình và hệ phương trình trong các kì thi học sinh giỏi cấp trường
và cấp tỉnh trong hai năm học 2010-2011 và 2011-2012 tôi thu được mẫu số
liệu sau:
Kì thi HSG cấp
trường
Kì thi HSG cấp
tỉnh
Thành tích đạt
được ở cấp tỉnh
Kết quả đạt được
Năm 2010-2011
12/20 5/6 Đạt 1 giải Ba
2 giải KK
Kết quả đạt được
Năm 2011-2012
7/10 6/6 Đạt 1 giải Ba
1 giải KK
2.1 TIỂU KẾT:
Trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và các đề thi học sinh giỏi
các cấp, bài toán phương trình và hệ phương trình thường xuyên xuất hiện mà
phương pháp đặt ẩn phụ vẫn là phương pháp giải chủ yếu. Việc trang bị cho
học sinh một cách có hệ thống các kĩ thuật cơ bản của phương pháp đặt ẩn
phụ là rất cần thiết và có một ý nghĩa to lớn; giúp các em không những giải

Tính chất 2: Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì
phương trình
( ) 0f x =
có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Chứng minh:
a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b)
Giả sử có hai số
1 2 1 2
, ( )x x x x<
sao cho
1 2
( ) ( ) 0 (*)f x f x= =
. Điều (*)
này gặp phải mâu thuẫn, vì
1 2 1 2 1 2
( ) ( ), , ( , )x x f x f x x x a b< ⇒ < ∀ ∈
(do hàm số
f tăng trong khoảng (a;b)).
b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).
Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn.
Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên
khoảng (a;b).
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 15 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
2.2 THỰC TRẠNG:
Trong những năm gần đây, trong các đề thi tuyển sinh đại học và các đề
thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về phương trình và hệ phương
trình mà đối với học sinh là những bài toán khó và lạ, phần lớn học sinh đều
lúng túng khi sử dụng các phương pháp giải đã biết như phương pháp biến đổi
tương đương, hay phương pháp đặt ẩn phụ. Chẳng hạn, với hệ phương trình

x x y y a
x y x b

+ + − − =


+ + − =


(I)
(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010)
Giải: Điều kiện:
3 5
;
4 2
x y≤ ≤
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 16 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
Ta có phương trình (a)
( )
3
8 2 1 5 2 5 2x x y y⇔ + = + − −
( )
( )
3
3
2 2 5 2 5 2x x y y⇔ + = − + −
(*)
Đến đây ta thấy, nếu đặt
3

2
x x x
 
+ − + − − =
 ÷
 
(c)
Dễ thấy x =0 và x =
3
4
không là nghiệm của phương trình (c)
Xét hàm số
2
2 2
5 3
( ) 4 2 2 3 4 7, (0, )
2 4
g x x x x x
 
= + − + − − ∈
 ÷
 
.Ta có
2 2
5 4 4 3
'( ) 8 8 2 4 (4 3) 0 (0, )
2 4
3 4 3 4
g x x x x x x x
x x

(c ) cũng nên chọn lựa phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số vì
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 17 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
phương trình này khá phức tạp không thể sử dụng phương pháp biến đổi
tương đương hay đặt ẩn phụ được.
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình
3
(3 ) 2 2 2 1 0 ( )
2 2 (2 1) 0 ( )
x x y y a
x y b

− − − − =


− − − =


(V)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-
2011)
Giải: Điều kiện:
1
2;
2
x y≤ ≥
Ta có (a)
( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1 2 1x x y y

=

Với x = 0 suy ra y =
3
2
(thõa điều kiện)
Với x = 2 suy ra y =
1
2
(thõa điều kiện)
Vậy hệ phương trình (V) có 2 nghiệm
3 1
(0, );(2; )
2 2
Ví dụ 11: Giải phương trình:
2 2
2 2 4 1 1x x x x− + − + = +
(7)
Giải: Phương trình (7)
2 2
( 1) 1 ( 1) (2 ) 1 2x x x x⇔ − + + − = + +
(*)
Xét hàm số f(t) =
2
1t t+ +
, khi đó (*) trở thành f(x-1) = f(2x).
Ta có f’(t) =
2
2 2
1

3 2 3
16 4 4 1 2 (**)x x x y+ − + =
Lấy (*) cộng (**) vế theo vế ta được
3 2 3 2
16 4 2x x y y+ = +
3 2 3 2
2(2 ) (2 ) 2x x y y⇔ + = +
(***)
Xét hàm số
3 2
( ) 2 , 0f t t t t= + ≥
, khi đó (***) trở thành
(2 ) ( )f x f y=
Ta có
2
'( ) 6 2 0, 0f t t t t= + ≥ ∀ ≥
nên hàm số f(t) tăng trên
[0,+ )∞
Do đó
(2 ) ( ) 2f x f y y x= ⇔ =
. Thay vào (*) ta có
2
2 0
1
2
4 1 4
x
x
x x
≥

1;
2
x x= = −
)
6)
2 2
(2 1)(2 4 4 4) 3 (2 9 3) 0x x x x x+ + + + + + + =
(
1
5
x = −
)
(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 5/2007)
7)
2
2 1 3 1 0x x x− + − + =
(Tạp chí THTT tháng 8/2011)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 19 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
8)
2 2
3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + =
(
1
5
x = −
)
9)
3 2 3 2
3

x y x y xy x y

− + + = + + −


− + = − +



(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2011 – 2012 )
14)

− − + =


+ + − − − =


x x y y
x y x y
3
2 1 (4 2) 2 0
1 2 3 2 9 2
15)
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0

2.4 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Qua hai năm triển khai thực hiện thử nghiệm đề tài, tôi nhận thấy: sau
khi áp dụng phương pháp nói trên để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 20 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
cấp tỉnh, phần lớn các em trong đội tuyển đều nắm được phương pháp và vận
dụng tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Kết quả cụ thể như sau:
Qua khảo sát học sinh về khả năng vận dụng phương pháp sử dụng tính
đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình trong các kì thi
học sinh giỏi cấp trường và cấp tỉnh trong hai năm học 2010-2011 và 2011-
2012 tôi thu được mẫu số liệu sau:
Kì thi HSG cấp
trường
Kì thi HSG cấp
tỉnh
Thành tích đạt
được ở cấp tỉnh
Kết quả đạt được
Năm 2010-2011
10/20 4/6 Đạt 1 giải Ba
2 giải KK
Kết quả đạt được
Năm 2011-2012
7/10 5/6 Đạt 1 giải Ba
1 giải KK
2.5 TIỂU KẾT:
Những năm gần đây, trong quá trình xây dựng và biên soạn các đề thi
tuyển sinh đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi các cấp, người ta thường chú
tâm đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài
toán về phương trình và hệ phương trình, và một số bài toán khác như bất

không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành
của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề
tài của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Quảng Ngãi tháng 05 năm 2012.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 22 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục
(2003)
[2] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Việt Nam
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 23 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần