Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH CÓ KỸ NĂNG GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là môn học có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học
kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học
khác có hiệu quả .Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các
môn học khác. Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông,
nó đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp
học sinh giải quyết bài toán.
Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn khác mà học thuộc bài một
cách cứng nhắc. Không chịu suy nghĩ để các kiến thức tiếp thu được trở thành một
kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được trong bất cứ trường hợp
nào. Là một giáo viên THPT, trong tình hình hiện nay tôi thấy mình phải tìm tòi,
nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng như kỹ năng giảng
dạy được tốt hơn. Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và phục vụ tốt cho chủ
trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra.
Tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. Đa số học sinh nhận thức
còn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh
nắm được bài tốt hơn.
Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học
sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa tham số và được tiếp cận với một vài
cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong
thực tế các bài toán giải phương trình chứa tham số rất phong phú và đa dạng và
đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các
bài toán về phương trình chứa tham số mà chỉ có số ít các em biết phương pháp
giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn
mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được
trình bày dưới dạng ôn tập không có ví dụ, còn bài tập chưa đầy đủ và thời gian rất

Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết. Do đó học
sinh vào lớp 10 không phải thi tuyển và cũng không xét tuyển nên có nhiều học
sinh còn yếu về học lực. Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng
đều nên vấn đề giảng dạy còn khó khăn, là vấn đề làm cho người giáo viên nói
chung và bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở.
Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường THPT tôi nhận ra rằng đa số học
sinh vẫn chưa ý thức được việc học. Phần lớn học sinh lười học, không làm bài tập
về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi. Đa số học sinh không có
thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

2


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của các gia đình công nhân, nông
dân có hoàn cảnh khó khăn, sau những buổi đi học về các em còn phải phụ giúp
gia đình. Sự quan tâm của ba mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều
mặt.
Trước khi làm sang kiến kinh nghiệm tôi thấy học sinh lớp 10 giải các bài tập về
giải và biện luận các phương trình, tìm tham số để phương trình thoã điều kiện,…
là học sinh khó mà giải được hoặc giải chưa chặt chẽ và còn thiếu logic.

III) NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lý luận
Có lần tôi đọc quyển “tạp chí tuổi trẻ của Bộ Giáo Dục và Đào tạo”, một lời
khẳng định của thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khối chuyên toán
ĐHSP Vinh) như sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp
tìm lời giải có nhiều ưu điểm và phát huy tác dụng tốt cho nhiều loại đối tượng”.

phương trình chứa tham số.
Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham
số. Cũng đã được đề cập đến nhưng còn lẻ tẻ chưa phổ biến rộng rải, chưa kết hợp
chặt chẽ hơn nữa là chưa phổ biến rộng rải trong quá trình giảng dạy. Do đó để sử
dụng vấn đề này còn nhiều bất cập, không đồng bộ. Tôi đã quyết định sáng kiến ra
đề tài này mong rằng giúp các em nhạy bén trong việc học toán. Từ đó nhằm rèn
luyện kỹ năng và phẩm chất tư duy về môn học, tiếp thu tri thức của loài người.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
2.1. Phương trình dạng: ax + b = 0 (*)
a Lý Thuyết:
• Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
•

a ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất x =

−b
a

• a=0:
b ≠ 0 : phương trình vô nghiệm.
b = 0 : phương trình có nghiệm với mọi x
• Tìm giá trị của tham số để phương trình có số nghiệm cho trước
•

a = 0

phương trình (*) vô nghiệm ⇔ 

GV: Nguyễn Thị Thu Liền


cũng thật sự khó. Một số giải pháp sau giúp học sinh hiểu và vận dụng vào giải
toán sẽ tốt hơn.
b. Bài tập vận dụng:
Một số ví dụ sau có thể giúp học sinh củng cố lại phần lý thuyết và có thể hình
thành kỹ năng giải phương trình có chứa tham số.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
( m – 3 ) x + 2m – 1 = 0 (1)
Bài toán này không dễ đối với một số học sinh ở lớp 10. Nếu không hiểu rõ
về phần lý thuyết trên thì lời giải sẽ bị lủng củng.
Giải VD1 :
•

m – 3 = 0 ⇔ m = 3 : (1) ⇔ 0x + 5 = 0 : phương trình (1) vô nghiệm.

•

1 − 2m
m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 : (1) ⇔ x =
m−3
Kết luận : m = 3 : phương trình (1) vô nghiệm.
m ≠ 3 : phương trình (1) có một nhiệm x =

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
(m2 – 4m + 3) x + m – m2 = 0 (2)
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

5

1 − 2m
m−3

b) Có nghiệm duy nhất.
Giải
Dựa vào phần lý thuyết trên và lập luận tương tự ví dụ 2 ta có các cách giải như
sau:
 m = −5
 m + 5 = 0
a = 0

⇔ 2
⇔   m = −1
a) PT (3) có nghiệm với mọi x ⇔ 
b = 0
m = 5
 m − 4m − 5 = 0


Vậy không tồn tại m để phương trình có nghiệm với mọi x.
b) PT (3) có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ m + 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ −5

2
Vậy m ≠ – 5 thì PT (3) có nghiệm duy nhất là x = −m + 4m + 5
m+5
Ví dụ 4: Xác định m để phương trình : m2x + m – x + 1 = 0 (4) có nghiệm.
Đối với bài toán này nhiều học sinh không đưa về dạng ax + b = 0 mà xem a =
m2 và b = m – x + 1 là sai. Phải biết đưa về phương trình (m 2 – 1)x + m + 1 = 0 (4’)
với a = m2 – 1 và b = m + 1. Thực ra để phương trình có nghiệm thì phương trình

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

6

 m = −1
m
−
1
=
0
   m = −1



⇔   m + 1 = 0 ⇔   m = −1 ⇔   m ≠ 1 ⇔ m ≠ 1

  m ≠ −1
 m ≠ 1
 m2 − 1 ≠ 0



  m ≠ −1

Bài toán này có thể xét theo hai trường hợp a) và b) của ví dụ 3 rồi lấy giao các
giá trị của m lại chính là kết quả của bài toán đã cho.
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất
2m + 1
= m +1
x −1

(5)

Nhiều học sinh còn gặp khó khăn trong cách giải bài toán này và dẫn đến sai xót

m +1
2

 m ≠ −1

Vậy Phương trình (5) có nghiệm duy nhất ⇔ 
−1
m ≠ 2


2.2. Phương trình dạng : ax2 + bx + c = 0 (**)
a. Lý Thuyết:
• Giải và biện luận phương trình : ax2 + bx + c = 0 (**)
•

Khi a = 0 : (**) ⇔ bx + c = 0 là phương trình đã biết

•

Khi a ≠ 0 : (**) là phương trình bậc hai một ẩn với ∆ = b2 − 4ac
 Nếu ∆ < 0 thì phương trình (**) vô nghiệm
 Nếu ∆ = 0 thì phương trình (**) có nghiệm kép: x =

−b
2a

 Nếu ∆ > 0 thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt:

x1 =


∆ < 0

Để phương trình (**) có một nghiệm duy nhất thì:

8


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số
a = 0

b ≠ 0

iii.

hoặc

a ≠ 0

∆ = 0

Để phương trình (**) có nghiệm kép thì:
a ≠ 0

∆ = 0

iv.

Để phương trình (**) có hai nghiệm thì:
a ≠ 0


Để phương trình (**) có nghiệm đúng với mọi x thì:
a = 0

b = 0
c = 0


viii.

Để phương trình (**) có một nghiệm đơn thì:
a = 0

b ≠ 0

b.Bài tập vận dụng:
Sau khi đã hệ thống được các dạng toán liên quan đến phương trình dạng ax2
+ bx + c = 0 nên tôi đã đưa ra một số ví dụ nhằm giúp các em tự rèn luyện kỹ
năng giải toán cho mình. Tôi đưa ra sang kiến này không phải chỉ giúp các em
giải quyết những bài toán liên quan đến phương trình chứa tham số mà các em
có thể linh hoạt để vận dụng vào giải các bài toán khác cần đến sự lập luận chặt
chẽ nữa.
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

9


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

Ví dụ 6: Giải và biện luận phương trình sau:
(m + 2) x2 – 2m x + m – 3 = 0

1
m+2
∆ ' > 0 ⇔ m > −6 : (6) có hai nghiệm phân biệt 

m− m+6
x =
m+2
 2
5

Kết luận: Khi m = – 2 : (6) ⇔ x = 4
3
Khi m = – 6 : (6) có nghiệm kép x1 = x2 =
2
Khi m < – 6 : (6) vô ngiệm

m+ m+6
x =
 m > −6
1
m+2
Khi  m ≠ −2 : (6) có hai nghiệm phân biệt 

m− m+6
x =
2
m+2


Ví dụ 7: Xác định m để phương trình sau:

b) Để phương trình (7) có một nghiệm duy nhất thì:
a = 0

b ≠ 0

hoặc

a ≠ 0

∆ ' = 0

hoặc

 m2 − 3m + 2 ≠ 0


 2m2 − 7m + 6 = 0

m = 1

⇔   m = 2
m ≠ 1


hoặc

 m ≠ 1

m ≠ 2
m = 2



Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

*Hoặc khi a khác 0 thì phương trình (8) trở thành dạng ax 2 + bx + c = 0. Để
phương trình (8) vô nghiệm thì phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm. Do đó
a ≠ 0 và ∆' < 0.
a) Để phương trình (8) vô nghiệm thì:
a = 0

b = 0
c ≠ 0

 2
⇔  m − 5m + 6 = 0
=0
 m − 3
m = 2

⇔   m = 3

m = 3

hoặc

a ≠ 0

∆ ' < 0

hoặc

−m + 3 > 0

m ≠ 2

⇔

m < 3

Ví dụ 9: Xác định m để phương trình sau:
( m + 1 ) x2 + 2 ( m – 3 ) x + m – 1 = 0 (9)
a) Có nghiệm kép.

b) Có hai nghiệm.

Giải:
Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình (9) phải là phương trình bậc
hai thì a khác 0 và thoả thêm điều kiện ∆' = 0.
a) Để phương trình (9) có nghiệm kép thì:

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

12


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số
a ≠ 0

∆ ' = 0

m + 1 ≠ 0

5
m ≤ 3

Xác định m để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x :

( m2 – 6m + 8 ) x2 + ( 2m – 3 ) x + m – 2 = 0 (10)
Để phương trình có nghiệm đúng với mọi x thì phương trình (10) không thể là
phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc nhất. Phương trình không phụ thuộc
vào x thì chỉ có các hệ số đồng thời bằng 0. Do đó phương trình được giải như sau:
Giải :
Để phương trình (10) có nghiệm đúng với mọi x thì:
a = 0

b = 0
c = 0


m = 2 ∨ m = 4
 m 2 − 6m + 8 = 0


3

⇔  2m − 3 = 0
⇔ m =
2
m − 2 = 0


 m = 2


• m – 2 = 0 hay m = 2 :
(11’) trở thành phương trình : – 4 x – 12 = 0 có nghiệm x = – 3.
Nghiệm này không thoả mãn điều kiện x ≠ – 3, nên phương trình
(11) vô nghiệm.
•

m – 2 ≠ 0 hay m ≠ 2:
Ta có ∆ ’ = 16m – 28.
 Nếu ∆ ' < 0 ⇔ m
0 ⇔ m >

7
thì (11’) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do
4

sinh luôn luôn củng cố lại các kiến thức cũ và tiếp cận kiến thức mới. Việc học
môn toán không còn là vấn đề nan giải nữa rồi làm cho các em trở nên phấn
chấn và thoải mái hơn rất nhiều khi có tiết học toán; cô trò không còn thấy áp
lực nữa. Sau một thời gian áp dụng sáng kiến này kết quả học tập của các em
khả quan hơn. Giúp các em tự tin học lên các lớp trên và chuẩn bị hành trang thi
tốt nghiệp và đại học.
V.

ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Học toán đã khó,xong truyền đạt kiến thức cho học sinh lại càng khó hơn.

Là một giáo viên dạy vùng sâu vùng xa như tôi thì những sáng kiến như thế này
rất quan trọng. Làm cho học sinh yếu kém cũng có khả năng tiếp thu được một
vài kiến thức; còn học sinh khá giỏi không cảm thấy nhàm chán và có điều kiện
nâng cao kiến thức.
Nếu sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng rộng rải thì tôi hy vọng rằng
những học sinh nào có ý chí vươn lên, ham tìm tòi học hỏi sẽ đạt được kết quả
khả quan .
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

15


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

Trên đây tôi đã trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm trong học toán để đạt kết
quả cao. Kinh nghiệm suy nghĩ khi học toán và làm toán cũng như việc rèn luyện
kỹ năng giải toán một cách linh hoạt hơn. Vấn đề này hết sức phong phú, bao gồm
nhiều mặt và có lẻ nói không bao giờ hết. Mong các bạn suy nghĩ về cách học của
mình, đúc rút kinh nghiệm , tìm ra phương pháp học tập tốt nhất để đạt nhiều kết

Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

Nguyễn Thị Thu Liền

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

17