SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
VỀ TỶ LỆ THỨC CHO HỌC SINH LỚP 7
TRƯỜNG THCS QUẢNG HƯNG

Người thực hiện : Trần Thị Loan
Chức vụ

: Giáo viên

Đơn vị công tác : Trường THCS Quảng Hưng
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2016


MỤC LỤC
* Đối với đồng nghiệp: Cần phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán" Tỷ lệ
thức"để truyền tải đến học sinh. Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan, có
định hướng rõ ràng, thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi với đồng nghiệp để tìm
ra giải pháp tối ưu trong việc triển khai, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ
sung kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán học, các đề thi học sinh giỏi hàng
năm......................................................................................................................20
* Đối với nhà trường: Xu hướng hiện đại hoá giáo dục ứng dụng công nghệ
thông tin vào giảng dạy đang được chú trọng, mỗi khi giáo viên thực hiện dạy
giáo án điện tử thì phải mất nhiều thời gian để chuẩn bị phòng dạy. Vậy đề nghị

hướng giải đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình
thường đến những bài toán khó .
Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số
bằng nhau khá quan trọng trong việc giải bài toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, tìm độ
dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác trong các tam giác đồng dạng (ở lớp 8,9)…
vv
Trong quá trình giảng dạy tôi luôn trăn trở là làm thế nào để học sinh
phân biệt được từng dạng và cách giải từng dạng đó, cần rút kinh nghiệm những
gì để học sinh làm bài được điểm tối đa.
Chính vì thế nên tôi đã chọn đề tài "Rèn luyện kỹ năng giải Toán về tỷ
lệ thức cho học sinh lớp 7 trường THCS Quảng Hưng " để nghiên cứu và phổ
biến cho đồng nghiệp cùng tham khảo trong những năm học vừa qua.
II. Mục đích nghiên cứu
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học
sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú khi học môn toán.
Giúp học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và
thực tiễn cuộc sống và giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán tỉ
lệ thức, để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán lớp 7 đều phải nắm
chắc loại toán này và biết cách giải chúng.

1


Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng
đặc thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học
sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán,
tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng
đối với việc giải toán tỉ lệ thức.
III. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ

học tập, phương pháp giải quyết vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông
minh sáng tạo.
Mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người
có trí tuệ, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người
như vậy thì Bộ Giáo Dục đã xác định ''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện
đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn
đề", "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''.
Định hướng này đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 28 mục II
đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ
động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại
niềm vui hứng thú học tập cho học sinh".
Dạy toán, học toán là quá trình tư duy liên tục cho nên việc tìm tòi, đúc kết
kinh nghiệm của người dạy toán, học toán là không thể thiếu được. Trong đó,
việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên. Việc
truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu biết hơn
ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh năm vững vấn đề một cách hệ thống, dẫn
dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết. Bên cạnh đó việc khai thác mở
rộng kiến thức giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng
tạo của mình. Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống
kiến thức, giúp học sinh có những kinh nghiệm về giải Toán về Tỷ lệ thức một
cách nhẹ nhàng và đơn giản hơn.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
1. Thuận lợi :
- Trong quá trình giảng dạy tôi luôn được sự đóng góp ý kiến giúp đỡ của
đồng nghiệp cũng như sự chỉ đạo chặt chẽ của ban Ban giám hiệu trường THCS
Quảng Hưng.


STT

1
2

Lớp

7A1
7A2
Tổng

Sĩ số

38
37
75

Số HS giải
được

Số HS biết
hướng nhưng
không giải
được

SL
5
5
10

chung. Vì vậy, tôi nghĩ: là người trực tiếp điều khiển quá trình học tập của các
em tôi cần phải có những giải pháp thiết thực nhằm thúc đẩy động lực học tập
của học sinh, giúp các em yêu thích môn học, nắm được nội dung kiến thức một
cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, học sinh có kĩ năng tính toán, có phương pháp học tập
thật tốt. Từ đó mới nâng cao được hiệu quả giáo dục trong nhà trường. Chính vì
thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số phương pháp
giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giải bài tập về
tỷ lệ thức.

4


III. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
1. Lý thuyết:
a. Định nghĩa về tỷ lệ thức:
Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số

a c
=
b d

a c
= còn được viết là a: b = c : d
b d
Trong đó các số: a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỷ lệ thức. Các số
a và d gọi là số hạng ngoài hay ngoại tỷ; b và c gọi là số hạng trong hay trung tỷ.
b. Tính chất của tỷ lệ thức.
a c
+ Tính chất 1: Nếu = thì a . d = b . c
b d

( b ≠ ±d )

a c m
= = ta suy ra:
b d n
a c m a + c −m a −c + m
= = =
=
= ... (với giả thiết các tỉ số đều có
b d n b+d −n b−d +n

b, Từ dãy tỉ số bằng nhau

nghĩa)
d. Các kiến thức có liên quan.
+ Tính chất cơ bản của phân số:
Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một
phân số mới bằng phân số đã cho .

a a.m
=
b b.m

( b ≠ 0 ; m ≠ 0)

Nếu ta chia cả tử số và mẫu số cho cùng một ƯC của tử và mẫu thì được
một phân số mới bằng phân số đã cho:

a a:n
=

4 8
16 32
= ;
= ;
= ;
= .
8 32
4 16
16 32
4 8
+ Với nhóm: { 4; 8; 32; 64} thì ta có : 4 . 64 = 8 . 32 và có các tỷ lệ
thức sau:
4 32 8 64
4 16 32 64
= ;
= ;
= ;
=
8 64 4 32 32 64
4 8
+ Với nhóm: {8;16; 32; 64} thì 8 . 64 = 16 . 32 và ta có 4 tỷ lệ thức sau:
8 32
16 64
8 16
32 64
= ;
= ;
= ;
= .
16 64

8 24
= ;
=
;
= vµ =
24 8 2 8
24 6
2 6

Tương tự với các tích 6.24 = 8.18 và 8.24 = 6.32 tất cả có 4.3 = 12 tỉ
lệ thức
* Khai thác và mở rộng bài toán:
6


Bài 1.3: Cho tập hợp A = {2;8;32;128;512} . Hãy liệt kê mọi tỷ lệ thức có
các số hạng là các phần tử của tập hợp A .
HD Giải: Tìm các tích bằng nhau của hai thừa số trong các số của
tập hợp A
Từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức:
2 8
8 8
+) 2 . 32 = 8 . 8 từ hệ thức này có các tỷ lệ thức:
= vµ =
8 32 2 32
8 32 32 128
+) 8 . 128 = 32 . 32 . Suy ra các tỷ lệ thức sau:
=
vµ =
32 128 8 32

vµ
=
32 512 32 8
8 128 512 128
+) 2 . 512 = 8 . 128 ta có các tỷ lệ thức sau:
2 128 8 512
2
8
128 512
=
; =
;
=
vµ
=
8 512 2 128 128 512
2
8
Như vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập được 20 tỷ lệ thức khác nhau
.
Bài 1.4. Có thể lập được tỷ lệ thức các số sau đây không ? Nếu lập được
hãy viết tỷ lệ thức đó: 2,2; 4,6; 3,3 và 6,7
Dạng II: Tìm các số chưa biết khi biết các tỷ lệ thức:
Bài 2.1.
Tìm 2 số x; y Biết:
x y
a)
b) 7x = 3y và x – y = 16
=
vµ x +y =21

= =
= =
y x x- y 16 4
3. 4
7. 4
=> x =
=-12 ; y =
=-28
-1
-1

Khai thác và mở rộng bài toán:
1) Tìm các số x, y, z biết :
2x 3y 4z
=
=
và x + y + z = 49
3
4
5

2) Tìm các số x1, x2....xn-1, xn . Biết
x1 x2 x3 xn-1 xn
= = =
=
vµ x1 +x2 +...+xn =c
a1 a2 a3 an-1 an
(a1 ≠ 0,a2 ≠ 0,...an ≠ 0,a1 +a2 +...an ≠ 0)

Bài 2.2:

−4
=> a = 2.5 = 10
b = 3.5 = 15
c = 4.5 = 20
a b c
Cách 2: = = =k =>a=2k, b = 3k, c = 4k thay các giá trị này vào
2 3 4

Cách 1: từ

a + 2b - 3c = -20
8


=>2k+ 6k - 12k = -20 => -4k = -20 => k = 5 vậy a = 2.5 =10; b= 3.5 =15;
c = 4.5= 20
Khai thác và mở rộng bài toán:
1)Tìm các số x, y, z biết :
a b c
a) = = vµ a 2 -b2 + 2c 2 = 108
2 3 4
b)

x-1 y-2 z-3
=
=
vµ 2x + 3y-z = 50
2
3
4

=
Tương tự = hay
(2)
5 7
20 28
x
y
z
Từ (1) và (2) => = =
15 20 28

Vậy

Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay đặt

x
y
z
=
=
=k (k ≠ 0) ta
15 20 28

sẽ tìm được các giá trị x, y, z
Giải
x
y
x
y
=

=
=
=
= 3 => x = 45 ; y = 60 ; z = 84
15 20 28 30 60 30 + 60-28 62
Khai thác và mở rộng bài toán
1) Tìm các số x,y,z .Biết :

=>

a,

x y
y z
= ;
=
vµ 2x-3y + z = 6
3 4
3 5
b) 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x-y + z = 32

Hướng dẫn giải:
a) Giống bài 3
b) - Chuyển 3x = 2y, 7x = 5z thành các tỷ lệ thức
- Tượng tự bài 3 chuyển 2 tỷ lệ thức thành dãy tỷ số bằng nhau.

9


- Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay đặt dãy tỷ số bằng k ta sẽ

= = k (k ≠ 0) =>x = 2k, y = 5k, thay các giá
2 5

trị này vào
x.y = 90 => k=? => giá trị x,y
Giải:
Cách 1: Hiển nhiên x khác 0 nên ta nhân cả hai vế của

x y
= với x ta có
2 5

x 2 x. y
x 2 90
=
⇔
=
= 18 ⇔ x 2 = 36 => x = ±6 vậy x1=6 ; y1=15 ; x2=-6 ; y2=-15
2
5
2
5
x y
Cách 2 : Đặt = =k (k ≠ 0) =>x = 2k, y = 5k, thay các giá trị này vào
2 5

x.y = 90 được
10k2 = 90=> k = ±3 => x1 = 6; y1=15; x2 = -6; y2= -15
Khai thác và mở rộng bài toán:
Tìm các số a, b, c biết :

x

⇒ x . x = (-15).(-60)

⇒ x 2 = 900 ⇒ x = ± 30

Tương tự học sinh tìm được x ở câu b.
Khai thác và mở rộng bài toán:
Tìm x biết:
a)

x 2 -3
=
-9 x

b)

x2 8
=
4 x3

Hướng dẫn giải: sử dụng tính chất 1 của tỷ lệ thức rồi suy ra x.
Bài 2.6:
Tìm các số x, y, z biết

x + z + 2 x + z +1 x + y − 3
1
=
=
=


đề bài ta được:

0,5 − x + 1 0,5 − y + 2 0,5 − z − 3
=
=
=2
x
y
z
1,5 − x 2,5 − y −2,5 − z
=2
Tức là x = y = z
1
5
−5
Vậy x = , y = , z =
2
6
6

Khai thác và mở rộng bài toán:
a
b

b
c

Tìm các số a,b,c biết : = =


a a−b
a
c
=
Hoán vị các trung tỷ của =
ta được
c c−d
a −b c−d

Từ gả thiết

* Giải:

Cách 1:

a b a-b
a
c
a c
= => = =
=
=>
b d
c d c-d
a-b c - d

Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải theo một số cách sau:
a
c
Cách 2: Để chứng minh


a
bK
bK
K
=
=
=
a - b bK - b b(K - 1) K - 1
c
dK
dK
K
=
=
=
c - d dK - d d(K - 1) K - 1
a
c
Tu (1) va (2) ⇒
=
a -b c-d

(1)
(2)

* Cách 4: Từ
a c
b d
b

=
b d
Hóy chng minh rng cỏc ty l thc sau õy (gi thit cỏc t l thc u
cú ngha) .
2a + 3b 2c + 3d
=
2a-3b
2c-3d
2
ad a - b 2
b,
=
cd c2 - d 2
a,

a +b
c,
c +d

2

a2 +b2
= 2 2
c +d

T 4 cỏch gii vớ d m giỏo viờn ó ra. Hc sinh cú th gii theo mt
cỏch. Giỏo viờn nhn mnh gii theo cỏch 2 v hng dn hc sinh cựng thc
hiờn .
HD Gii
t

b) =
b b+d

a c
= (a,b,c,d 0). Hóy suy ra
b d

a)

ab a 2 + b
c)
=
cd c2 + d 2

Bi 3.4: Chng minh rng t t l thc
a +b c +a
=
=> hệthứca2 =bc
a- b c - a
13


Hng dn gii: Bi 3.2 t giỏ tr ca mi t s t l thc ó cho bng
K, ri tớnh gớa tr ca mi t s t l thc phi chng minh theo K (cỏch 2).
Cng cú th ta dựng cỏc tớnh cht ca t l thc nh hoỏn v cỏc s hng, tớnh
cht dóy t s bng nhau. Tớnh cht ca ng thc bin i t l thc ó cho
n t l thc phi chng minh (cỏch 3 v 4).
Bi 3.5: Dựng tớnh cht ca t l thc nh hoỏn v cỏc s hng, tớnh cht
dóy t s bng nhau
a+b a +c

3

4

=1800
* A +B+C

Bng cỏch ỏp dng tớnh cht dóy t s bng nhau ta d dng s dng iu
=1800 tỡm cỏc s o cỏc gúc ca tam giỏc ABC
kin A +B+C
* Gii
;B
;C
. Giả sử theo thứ tự này, các góc
Số đo các góc của ABC là A
:B
:C =2: 3: 4 hay
đó tỷ lệvớ i 2,3 và 4 nghĩ
a là A
B
C
A
+B+C
1800
A
= = =
=
=200
2 3 4 2+3+4
9

3
2
3
4
*
số công nhân của đội I bằng
số công nhân
* x= y= z
3
4
5
4
3
4
đội II bằng
số công nhân đội III .
5
* Số công nhân đội III ít hơn tổng số công nhân của đội * x+y-z=57
I và đội II là 57 người.
Bằng cách chia mỗi số 2 x ; 3 y ; 4 z cho 12 (BCNN(2,3,4)) để được dãy tỉ
3

4

5

x
y
z
= =


áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và sử dụng điều kiện 2 ta có :
x
y
z
x+ y−z
57
=
= =
=
=3
18 16 15 18 + 16 − 15 19

Suy ra:
x = 3.18 = 54
y = 3.16 = 48
z = 3.15 = 45
Vậy số công nhân của đội I, II, III lần lượt là 54, 48, 45(người)
Chú ý: Nếu không làm như trên ,bài toán này thường được giải như sau:
2
3
4
x y z
x + y − z 57
x = y = z => = = =
=
= 36
3 4 5 3 4 5 19
3
4

CB = AB Giả sử để đi quãng CB với vận tốc 6km/h cần thời gian là t 1
5
giờ. còn đi với vận tốc 4,5 km/h với thời gian t2 giờ. Ta có:
1
t1 - t2 =12h-11h45= (h) vµ 6t1 =4,5t2
4
1
h
t2
t1
t2 - t1
1
3
4
=> =
=
=
= h Tõ ®ã => t2 =1h ; t1 = h
6 4,5 6- 4,5 1,5 6
4
Qu· ng ® êng AB lµ: 4,5 . 5 =22,5km
3
. 6 =4,5km
4
Thêi gian ®Ó®ibé tõ A → B lµ 4t1 +t2 =3h+1h=4h

Qu· ng ® êng CB lµ:

Thêi gian khëi hµnh ®Ó®ibé lµ 12- 4 =8h .


+) Phương pháp 1: Dùng tính chất của tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số
bằng nhau để biến đổi tỷ lệ thức đã cho sao cho xuất hiện các biểu thức trong tỷ
lệ thức cần chứng minh
+) Phương pháp 2: Đặt giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng k, rồi
tính gía trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo k.
+) Phương pháp 3: Phân tích ngược đi từ tỷ lệ thức cần chứng minh muốn
có

a c
=
phải có ad = bc, muốn có ad = bc phải có cái gì…
b d

- Đối với dạng 4: Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ toán học rồi áp dụng
tính chất dãy tỉ số bằng nhau và sử dụng điều kiện để tìm các dữ liệu.
IV. Hiệu quả đề tài đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp
và nhà trường..
Khi chưa hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng các bài toán
trong sách giáo khoa tôi thấy các em chưa có hứng thú khi giải toán, bài làm
còn rập khuôn máy móc, kết quả học tập chưa cao. Sau khi thực hiện tại trường
THCS Quảng Hưng tôi thấy học sinh hiểu rõ hơn về toán tỷ lệ thức, trình bày lời
giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn. Tôi cho các bài tập tương tự của 4 dạng
toán mà tôi đã trình bày ở trên đa số các em trong lớp đều làm được.
Khi tôi tiến hành cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút HKII tại lớp 7A1
và lớp 7A2 năm học 2015 - 2016, kết quả như sau:

STT

1
2


%
55
51
51

%
32
32
35

Số HS không
thể giải được
SL
5
6
11

%
13
16
15

Trong quá trình giảng dạy, tôi đã hệ thống và hướng dẫn cho các em biết
khai thác mở rộng các bài toán từ dễ đến khó trong SGK , SBT và một số bài tập
nâng cao.Tôi thấy các em biết phân tích bài toán một cách chặt chẽ hơn, say mê
và tích cực giải toán hơn. Trong các tiết toán của tôi hầu như không có em nào
mất trật tự các em rất say mê học tập và một điều hết sức ý nghĩa là học sinh lớp
7 trường THCS Quảng Hưng không những các em biết giải toán, học toán mà
các em còn biết vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như ở các hoạt

Điều trước tiên tôi thấy được là học sinh hăng say học tập trong các giờ
lên lớp. Với học sinh lớp 7A1 và lớp 7A2 mà tôi giảng dạy, các dạng bài toán
liên quan đến tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại nữa .
Cuối kì học đa số các em đã quen với loại toán "Giải toán tỉ lệ thức", đã
nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình bày
đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rõ ràng, các em bình tĩnh, tự tin và cảm thấy
thích thú khi giải loại toán này.
Tôi mong rằng đề tài này sẽ cũng giúp học sinh lớp 7 của trường THCS
Quảng Hưng và đồng nghiệp trong trường hiểu kỹ hơn về "Giải toán tỉ lệ thức".
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy, nhất là những bài học
rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các đồng chí cùng trường. Cùng với sự
giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn KHTN
trường THCS Quảng Hưng, tôi đã hoàn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn kỹ năng giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7 trường THCS Quảng Hưng
" và với đề tài này tôi đã đem đến cho học sinh lớp 7 nhà trường chúng tôi sự
say mê học tập, đem đến cho đồng nghiệp sự tin tưởng, lòng yêu nghề và sự
sáng tạo trong công tác giảng dạy học sinh.
2. Kiến nghị:

19


* Đối với đồng nghiệp: Cần phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán" Tỷ
lệ thức"để truyền tải đến học sinh. Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan, có
định hướng rõ ràng, thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra
giải pháp tối ưu trong việc triển khai, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung
kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán học, các đề thi học sinh giỏi hàng năm.
* Đối với nhà trường: Xu hướng hiện đại hoá giáo dục ứng dụng công nghệ
thông tin vào giảng dạy đang được chú trọng, mỗi khi giáo viên thực hiện dạy giáo
án điện tử thì phải mất nhiều thời gian để chuẩn bị phòng dạy. Vậy đề nghị nhà

5. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học cơ sở môn Toán
(NXBGD – 2007)
6. Vũ Dương Thụy (Củ biên) – Nguyễn Ngọc Đạm - Toán nâng cao và các
chuyên đề Đại số 7 - (NXBGD – 2008).
7. Nguyễn Ngọc Đạm - Toán phát triển đại số7 - ( NXB Giáo dục - 1996)
8. TS Lê Văn Hồng - Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán (NXB Giáo dục - 2004)
9. Vũ Dương Thụy - Thực hành giải toán - (NXB Giáo dục - 1999)
10. Các trang Website :
.
.

21