ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÕN

ĐỖ THANH HÙNG
TẠ NGUYỄN THANH THỦY

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ
NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƢ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN: TS. PHẠM SỸ NAM
NGƢỜI PHẢN BIỆN: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2017


2

LỜI CAM ĐOAN

Chúng tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của chúng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kì một công trình nào
khác.

Đỗ Thanh Hùng
Tạ Nguyễn Thanh Thủy


4

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ........................................................................................................6
Chƣơng I.
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Các hình thức đánh giá trong dạy học ..........................................................9
2. Các cấp độ nhận thức.................................................................................12
3. Vai trò của bài tập trong dạy học ...............................................................15
4. Thực trạng việc dạy và học giải phƣơng trình vô tỉ ở trƣờng THPT ...........16
Chƣơng II.
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ
THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT
1. Phƣơng pháp nâng lũy thừa .......................................................................19
2. Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp .............................................................36
3. Phƣơng pháp hàm số ................................................................................ 57
4. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ ........................................................................... 91
5. Phƣơng pháp đánh giá ............................................................................ 120
6. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa .................................................................. 140
7. Một số ứng dụng của phƣơng trình vô tỉ ................................................. 152
KẾT LUẬN ................................................................................................ 165
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 166


sinh vào trƣờng THPT chuyên hoặc kì thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng.
Bên cạnh đó, PTVT luôn là “nỗi sợ hãi” của các em học sinh bởi các bài tập về
PTVT khá rắc rối và phức tạp; việc giải các bài tập này đòi hỏi HS cần phải có sự
nhạy bén khi phân tích đề, hiểu và nắm vững các phƣơng pháp giải PTVT, từ đó
vận dụng đúng và chính xác vào bài tập; đồng thời cũng đòi hỏi HS phải khéo léo
và linh hoạt khi biến đổi phƣơng trình tƣơng đƣơng, tránh mắc những sai lầm cơ
bản khi giải.
Muốn khắc phục “nỗi sợ hãi” trên, ngƣời học cần phải đƣợc tiếp cận kiến thức một
cách bài bản, cặn kẽ, đi từ dễ đến khó, từ lý thuyết đến thực tiễn và phải có sự chủ
động trong tƣ duy toán học để có thể phân loại, nhận dạng và giải đƣợc các bài tập
PTVT; từ đó nâng cao năng lực giải toán ở bậc THPT nói chung và PTVT nói riêng.
Hiện nay, Bộ Giáo dục đang có chủ trƣơng tổ chức kì thi THPT Quốc gia theo hình
thức trắc nghiệm với bốn cấp độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng
cao thì việc xây dựng hệ thống theo các cấp độ là điều cần thiết. Việc phân loại theo
từng cấp độ nhằm giúp HS dễ đánh giá việc học tập và giáo viên có đƣợc nguồn tƣ
liệu phục vụ giảng dạy đƣợc thuận tiện hơn, phù hợp với năng lực của các HS.
Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài là: "Xây dựng hệ thống bài tập
phương trình vô tỉ theo các cấp độ nhận thức cho học sinh THPT".
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của khóa luận là xây dựng hệ thống các bài tập phƣơng trình vô tỉ, trong
đó có sự phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm


7

giúp HS phát triển năng lực trong học Toán và nâng cao chất lƣợng dạy học Toán ở
trƣờng THPT.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Học sinh bậc trung học phổ thông.



9

Chƣơng I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Các hình thức đánh giá trong dạy học
1.1. Xu hƣớng kiểm tra, đánh giá của các quốc gia trên thế giới
Xu hƣớng kiểm tra, đánh giá của các quốc gia trên thế giới đều chú trọng đánh giá
năng lực ngƣời học, coi trọng đánh giá quá trình kết hợp đánh giá định kì, tổng kết,
sử dụng nhiều công cụ để đánh giá: đánh giá qua sản phẩm, qua các dự án, qua hồ
sơ học tập, qua câu hỏi (Tự luận hoặc Trắc nghiệm) sử dụng trong các bài thi viết.
Đối với các bài thi viết, căn cứ vào mục đích/ mục tiêu của kì đánh giá: đánh giá
trên diện rộng (cấp quốc gia, cấp quốc tế), đánh giá trên diện hẹp (trong phạm vi lớp
học) để lựa chọn sử dụng các hình thức, công cụ đánh giá cho phù hợp, hiệu quả.
Nhiều quốc gia nhƣ Mĩ, Nhật… đang sử dụng hình thức thi Trắc nghiệm trong các
kì thi đánh giá trên diện rộng và cho kết quả chính xác, khách quan.
1.2. Đặc điểm của hình thức thi trắc nghiệm, tự luận
1.2.1. Các dạng câu hỏi Trắc nghiệm
Hiện nay, đánh giá bằng trắc nghiệm khách quan là một phƣơng pháp hiện đại mới
đƣợc nghiên cứu trên thế giới khoảng những năm 60 của thế kỉ XX, vận dụng ở
Việt Nam cuối thế kỉ XX bên cạnh phƣơng pháp đánh giá truyền thống.
Trong dạy học Toán có nhiều loại câu hỏi, bài tập trắc nghiệm khách quan:
- Dạng câu hỏi lựa chọn nhiều khả năng (dạng đúng – sai, dạng phổ biến 4 lựa
chọn).
Ví dụ: Cho phƣơng trình

x  2  x  1 . Điều kiện để phƣơng trình đã cho có nghĩa

là:
A. x  2  0


pháp nhân lƣợng liên hợp, ta nhân hai vế phƣơng trình đã cho với…
- Dạng câu hỏi sắp lại thứ tự.
Ví dụ: Sắp xếp thứ tự các câu sau để có đƣợc lời giải hoàn chỉnh của bài toán trên
A.

x 3  5 x

 x5

B.   x  4
 x  7


x5
 x  11x  28  0


C.  

2

D.  x  4
5 x  0
2
 x  3  (5  x)


E.  



2 x3

2 x  3  3 có tập nghiệm là

1.2.2. So sánh Trắc nghiệm và Tự luận
Trong dạy học, muốn đánh giá năng lực của HS cần sử dụng các công cụ để đo
lƣờng. Trắc nghiệm hay tự luận đều là những công cụ đánh giá.
a. Điểm tương đồng
 Đều có thể đo lƣờng hầu hết kết quả học tập quan trọng bằng hình thức viết;
 Đều khuyến khích học sinh học tập để đạt mục tiêu: hiểu biết các nguyên lí,
tổ chức, phối hợp các ý tƣởng, ứng dụng kiến thức trong việc giải quyết các
vấn đề.
 Đều đòi hỏi vận dụng ít nhiều sự phán đoán chủ quan và giá trị của hai loại
tuỳ thuộc vào tính khách quan và độ tin cậy của chúng.
b. Điểm khác biệt
Tự luận

Trắc nghiệm

Học sinh phải tự soạn câu trả lời và diễn

Chọn câu trả lời đúng nhất trong 1 số

tả bằng ngôn ngữ của mình.

câu đã cho sẵn.

Ít câu hỏi, nhƣng có tính tổng quát và


Thí sinh tự do bộc lộ cá tính, ngƣời

Ngƣời soạn tự do bộc lộ kiến thức, thí

chấm cũng tự do cho điểm theo xu

sinh chỉ có quyền chứng tỏ mức độ hiểu

hƣớng của mình.

biết qua số các câu trả lời đúng.

Khó xác định mức độ hoàn thành toàn

Dễ thẩm định mức độ hoàn thành các

diện nhiệm vụ học tập.

nhiệm vụ học tập.

Cho phép hoặc đôi khi khuyến khích sự
“lừa phỉnh”.
Cho phép ngƣời chấm ấn định sự phân
bố điểm (sửa đáp án).

Cho phép “đoán mò”.

Sự phân bố điểm do bài thi ấn định.

Nguồn Dương Thiệu Tống - Trắc nghiệm và đo lường thành quả học tập, tr.16.

+ Sắp xếp lại lời giải bài toán theo một cấu trúc logic.
Câu hỏi thuộc cấp độ thông hiểu: Là câu hỏi kiểm tra việc sử dụng các kiến thức lý
thuyết (khái niệm, kết quả) đã đƣợc học để giải quyết các tình huống Toán học
không phức tạp, giống hoặc tƣơng tự các tình huống HS đã đƣợc luyện tập trên lớp,
cũng nhƣ đã gần giống hoặc gần tƣơng tự các tình huống trong SGK, kiểm tra khả
năng vận dụng các tình huống không phức tạp có liên quan trong thực tiễn cuộc
sống hoặc trong các môn học khác.


14

2.3. Vận dụng
Là khả năng đòi hỏi HS phải biết vận dụng kiến thức, biết sử dụng phƣơng pháp,
nguyên lí hay ý tƣởng để giải quyết một vấn đề nào đó.
Có thể cụ thể hóa mức độ này bằng các động từ:
+ So sánh các phƣơng án giải quyết vấn đề.
+ Phát hiện lời giải có mâu thuẫn, sai lầm, chỉnh sửa đƣợc.
+ Giải quyết đƣợc những tình huống mới bằng cách vận dụng các khái niệm, định
lí, tính chất, định luật.
+ Khái quát hóa, trừu tƣợng hóa từ tình huống quen thuộc, tình huống đơn lẻ sang
tình huống mới, tình huống phức tạp hơn.
Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng thấp: Là câu hỏi nhằm kiểm tra việc hiểu rõ, hiểu
sâu (ở mức độ nhất định) các kiến thức lí thuyết đã đƣợc học và biết tạo ra sự liên
kết giữa các kiến thức đó với nhau để giải quyết tình huống toán học không đơn
giản, gần giống hoặc tƣơng tự các tình huống có trong SGK, SBT; kiểm tra khả
năng vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các tình huống không phức tạp có
liên quan trong thực tiễn cuộc sống hoặc trong các môn học khác.
Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng cao: Là câu hỏi kiểm tra khả năng vận dụng tổng
hợp các kiến thức lý thuyết đƣợc học để giải quyết các tình huống Toán học mới,
không quen thuộc và không quá phức tạp trong khoa học cũng nhƣ trong thực tiễn

huy đƣợc tính tích cực, tự giác, chủ động và tƣ duy sáng tạo của HS. Tránh cách
học thụ động và truyền thống.
Các bài toán tìm lỗi sai và phƣơng pháp nêu sai lầm trong việc giải toán ở HS sẽ
giúp HS có thể nhận ra đƣợc lỗ hổng kiến thức hay những mặc định sai lầm về lý
thuyết.
Hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận với hình thức điền khuyết, ghép đôi,
sắp xếp, đúng sai hay nhiều lựa chọn giúp HS liên kết đƣợc kiến thức từ giải thiết
của câu hỏi và các đáp án. Đồng thời, xác định đƣợc đúng trọng tâm của lý thuyết,
từ đó loại suy đƣợc những câu trả lời sai.
Hệ thống các bài tập theo 04 mức độ nhận thức và Phƣơng pháp gợi mở vấn đề sẽ
rèn luyện đƣợc kỹ năng giải quyết vấn đề và phát triển năng lực giải toán toàn diện
của HS.
3.2. Đối với giáo viên
Giúp ngƣời giáo viên có thể định hƣớng đƣợc cách điều khiển và tổ chức các hoạt
động dạy học của mình một cách hiệu quả.
Giúp ngƣời giáo viên tiếp cận với phƣơng pháp dạy học mới với phƣơng châm “Lấy
ngƣời học làm trung tâm”, từ đó xây dựng đƣợc phƣơng pháp gợi mở vấn đề cho
học sinh nhằm bồi dƣỡng cho HS năng lực tự học, khả năng thực hành và khơi dậy
lòng say mê học tập của HS.
Với hệ thống các bài tập về PTVT từ dễ đến khó với mỗi dạng toán, ngƣời giáo viên
có thể xây dựng đƣợc lộ trình dạy cũng nhƣ mức độ đề bài đặt ra phù hợp mức độ
hiểu và vận dụng đối với từng học sinh, từ đó nâng cao năng lực giải toán của HS.
4. Thực trạng việc dạy và học giải phƣơng trình vô tỉ ở các trƣờng THPT
Hiện nay, việc dạy và học môn Toán nói chung và phƣơng trình vô tỉ nói riêng ở
bậc trung học phổ thông chƣa đạt chất lƣợng và hiệu quả cao. Qua quá trình khảo


17

sát, chúng tôi thấy có một số nguyên nhân chính sau:

lối tƣ duy sáng tạo của HS trong Toán học. Nhƣng đa số GV còn chƣa áp dụng vào
việc giảng dạy, còn áp đặt tƣ duy cá nhân đối với HS.
GV chƣa có hệ thống các bài tập phù hợp với năng lực của từng học sinh. Các bài
tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ minh họa cho
bài giảng và trong bài tập về nhà.


19

Chƣơng II. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH
VÔ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT
1. Phƣơng pháp nâng lũy thừa
1.1. Kiến thức cần thiết
Với mọi k 
2k



2 k 1





, ta có:

 b0
a b
2k
a  b


 2k 1 f ( x)  g ( x), k 



2 k 1

2k

*

*

f ( x)  2 k 1 g ( x), k 

f ( x)  2 k g ( x), k 

*

*



f ( x)  g ( x)  h( x)



f ( x)  g ( x)  h( x)  q( x)



(k 

*

)

(k 

*

)

(k 

*

)

Lưu ý: Đối với phƣơng trình hệ quả:
+ Nâng lũy thừa 2 vế phƣơng trình và đƣa về phƣơng trình hệ quả.
+ Giải phƣơng trình hệ quả trên tìm nghiệm.
+ Thử lại nghiệm của phƣơng bằng cách thay nghiệm đó vào phƣơng trình ban đầu.
1.4. Bài tập theo các cấp độ
1.4.1. Bài tập cấp độ nhận biết
Chọn đáp án đúng:
Bài 1.1. Điều kiện để phƣơng trình

f ( x)  g ( x) có nghĩa là:

A. f ( x)  0

21




C. 

g ( x)  0


 f ( x)   g ( x) 

2

  f ( x)  0

2
  f ( x)   g ( x) 
D. 
  g ( x)  0
2

  f ( x)   g ( x) 

Đáp án: C.
Bài 1.3. Cho phƣơng trình: 3 f ( x)  3 g ( x) .
Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả nào sau đây:
 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)



Đáp án: A
Bài 1.5. Điều kiện để phƣơng trình

A. h( x)  0

f ( x)  g ( x)  h( x) có nghĩa là:

 f ( x)  0
B.  g ( x)  0
 h( x)  0


22

 f ( x)  0

D.  g ( x)  0
 h( x )  0


 f ( x)  0
C. 
 g ( x)  0

Đáp án: D.
1.4.2. Bài tập cấp độ thông hiểu
Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống
Bài 1.6. Cho phƣơng trình:


Đáp án: f ( x)  g ( x) .
Bài 1.8. Cho phƣơng trình:

2k

f ( x)  2 k g ( x) ( k 

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả là…
  f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
Đáp án: 
  g ( x)  0

  f ( x)  g ( x)

Bài 1.9. Cho phƣơng trình:

2x 1  x  2 .

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả là…

*

).

).


23



x  7

3x  2  2 x  6 x  5

2.

5

x

3

 3 x  5 3   x  12


C.

2x  3  x  4

3.

x4

 2
 x  9 x  19  0

D.


C.  

2
x  2x  3  0

D.

2x  3  x

E.  x  3


24

F. Vậy x  3 là nghiệm của phƣơng



G.  

x0

2 x  3  x

trình đã cho

2

Đáp án: A - D - G - C - B - E - F
1.4.3. Bài tập vận dụng thấp

5
4

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S    .

Bài 1.15. Giải phƣơng trình:

 3x

2

 7 x  2

2

 x  3  11x  22

5
4


25

Nhận xét:
Phƣơng trình đã cho có dạng:

f ( x)  g ( x)

Do đó, giải phƣơng trình đã cho bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng.
Giải:

 x  2  .  3x  1 .  x  3  121 x  2 



x2

x2

 x2

x  2


2

 
  x  2  
x2

 x  2  0
x  4
 9 x3  33x 2  19 x  124  0
 x  4

2



3
x


3x  2  3 3  x  1

 4 x  3. 3  3x  2  .  3  x   2 (vì

3

3x  2  3 3  x  1 )

 4 x  2  3. 3  3x  2  .  3  x 

Tiếp tục lập phƣơng 2 vế phƣơng trình trên, ta đƣợc: