CC BI TON LIấN QUAN N TèM GI TR LN NHT GI TR
NH NHT, TNH TNG CA BIU THC.
Cõu 1.

Cho 0 < a < 1 < b , ab > 1 . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc

P = loga ab +

4
.
(1 - loga b ).loga ab
b

A. P = 2 .
Chn

B. P = 4 .

C. P = 3 .

D. P = -4 .

Li gii

D.

Do 0 < a < 1 < b , ab > 1 nờn suy ra loga b < 0 .
Mt khỏc ta cú logb ab > 0 logb a + 1 > 0
Ta cú P = loga ab +

1 + loga b

ữữ
b
ố
a
a ứ

p dng bt ng thc Cụ-si ta cú : -P = (-1 - loga b ) +
Suy ra P Ê -4 .

4
4.
-1 - loga b

ng thc xy ra 1 + loga b = -2 loga b = -3 a 3b = 1 .
Cõu 2.

9x
. Tớnh tng
9x + 3
ổ 1 ửữ
ổ 2 ửữ
ổ 3 ửữ
ổ 2016 ửữ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + ... + f ỗỗ
ữ
S = f ỗỗỗ
ỗố 2017 ữứ
ỗố 2017 ứữ


9x
91-x
9x
9
9x
3
+
=
+
=
+ x
x
1-x
x
x
x
9 + 3 9 + 3 9 + 3 9 + 3.9
9 +3 9 +3

9x + 3
= 1.
9x + 3
ộ ổ 1 ử
ự ộ
ự
ữữ + f ổỗỗ 2016 ửữữỳ + ờ f ổỗỗ 2 ửữữ + f ổỗỗ 2015 ửữữỳ + ...
Khi ú S = ờờ f ỗỗ
ữ
ỗ

a

3

B. m =

A. m = 1 .
Chn

1
.
2

b

C. m = 4 .

D. m = 2 .

Li gii

A.

ỡ
ù
1
ù
m = (1 + loga b )
ù
Vỡ a > 1, b > 1 , ta cú: ớ

Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P = 12 khi loga b = 2 . Suy ra m =
Cõu 4.

(

Giỏ tr nh nht ca P = loga b 2

ổ
ỗ
+ 6 ỗỗlog b
ỗỗố
a

b ữữử
ữữ vi a , b l cỏc s thc thay i tha
a ữứ
2

b > a > 1 l

món
A. 30 .

B. 40 .

Chn

C. 18 .

D. 60 .

2
2
b ửữữ
b
ỗỗ
ỗỗ
ữ
. a ữữ = 4 (loga b ) + 6 ỗ1 + log b a ữữữ
ữữ = 4 (loga b ) + 6 ỗlog b
ỗ
ỗỗố
a
ữ
ữứ
ỗ
aứ
ố
ứữ
a
a
2

2

2

ổ
ửữ
ỗỗ
2

ổ t - 1 ửữ
1 ửữ
2
2
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
= 4t + 6 ỗỗ
t t = loga b ị P = 4t + 6 ỗ1 +
ữ 2 4t .6 ỗỗt - 2 ữữữ Theo BT
ỗố
t - 2 ữứữ
ốt - 2 ứữ
ố
ứ

2

2

2

Cosy

ị Pmin

ổ t - 1 ửữ
ữữ Du bng xy ra khi:

êt
ê
ê
ê
é2t(t - 2) = 6(t - 1)
é2t 2 - (4 + 6)t + 6 = 0
êt
ê
ê
ê
Ûê
Ûê
Ûê 2
ê2t(t - 2) = - 6(t - 1)
ê2t - (4 - 6)t - 6 = 0
ê
ë
ë
êt
ê
ê
êt
ê
ë
Câu 5.

4+ 64
4+ 6+
=
4

Đặt t = logm x , lúc đó x = m t
Phương trình trở thành

(

)

8t logn m t - 7t - 6 logn m t - 2017 = 0 Û 8t 2 logn m - 7t - 6t logn m - 2017 = 0
Û 8 (logn m )t 2 - (7 + 6 logn m )t - 2017 = 0

Ta có D = (7 + 6 logn m ) + 4.2017.8 logn m
2

Lúc đó x 1 = m 1 ; x 2 = m 2
t

x 1.x 2 = m

t1 +t2

t

=m

7 +6 logn m
8 logn m

= P nguyên

Lần lượt thử các đáp án ta chọn được đáp án C.

.
8

Chọn A

1 £ b < a 3 Û loga 1 £ loga b £ 1 Û 0 £ loga b £ 1

Trang 3


(

æ
bö
P = 2 çç1 + loga ÷÷÷ + 4 - 2 loga2 b
çè
a ÷ø
3

)

3

æ
ö
1
+ 3 = 2 log b + çç4 - loga2 b ÷÷÷ + 3
÷ø
çè
2

6x 2 - 3x çç4 - x 2 ÷÷÷ = 0 Û
çè
2 ÷ø
2

éx = 0
ê
2
ê
æ
1 2 ö÷
ê
ç
êx - 3 ç4 - x ÷÷ = 0 (VN )
çè
2 ÷ø
êë

Lập bảng biến thiên ta có P (0) = 67
Câu 7.

16x
. Tính tổng
16x + 4
æ 1 ÷ö
æ 2 ÷ö
æ 3 ö÷
æ 2017 ö÷
÷÷ + f çç
÷÷ + f çç

5

A.

Nhận xét: Cho x + y = 1

16x
16y
16 + 4.16x + 16 + 4.16y
+
=
=1
16x + 4 16y + 4 16 + 4.16x + 4.16y + 16
æ 1 ö÷
æ 2016 ö÷
æ 2 ö÷
æ 2015 ÷ö
æ 1008 ö÷
æ 1009 ö÷
æ 2017 ö÷
÷÷ + f çç
÷÷ + f çç
÷÷ + f çç
÷÷ + ... + f çç
÷÷ + f çç
÷÷ + f çç
÷
S = f çç
çè 2017 ÷ø
çè 2017 ÷ø


C. min S = 8 .

Lời giải

D. min S = 16 .

B.

Ta có log2 (a + 1) + log2 (b + 1) ³ 6 Û log2 (a + 1)(b + 1) ³ 6 Û (a + 1)(b + 1) ³ 64

Trang 4


ổa + b + 2 ửữ
2
ữữ (a + b ) + 4 (a + b ) - 252 0
M 64 Ê (a + 1)(b + 1) Ê ỗỗ
ữứ
ỗố
2
2

ộa + b 14
.
ờờ
ờởa + b Ê -18 (L )
Nờn min S = 14 .
Cõu 9.


.
2

D. S = 2017.

Chn A

41-x
4
2
Ta cú: f (1 - x ) = 1-x
=
=
ị f (1) + f (1 - x ) = 1
x
4 + 2 4 + 2.4
2 + 4x
ổ 1 ửữ
ổ 2017 ửữ
ổ 2 ửữ
ổ 2016 ửữ
ổ 1008 ửữ
ổ 1010 ửữ
ữữ + f ỗỗ
ữữ = 1, f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữữ = 1,..., f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữ=1
Do ú: f ỗỗ

ỗố 2017 ữữứ
A. 336 .

B. 1008 .

C.
Li gii

Chn

4039
.
12

D.

8071
.
12

C.

9x - 2 91-x - 2
1
Xột: f (x ) + f (1 - x ) = x
+ 1-x
= .
9 +3 9 +3 3
Vy ta cú:


1

Cõu 11.

1
7
4039
+ f (1) = 336 +
=
.
3
12
12

Cho x , y l cỏc s thc tha món log 4 (x + y ) + log 4 (x - y ) 1 . Tỡm giỏ tr nh nht Pmin
ca biu thc P = 2x - y .

Trang 5


A. Pmin = 4 .

B. Pmin = -4 .

C. Pmin = 2 3 .

D. Pmin =

Li gii
C.


5

Bng bin thiờn

x

y'

2

-Ơ

+Ơ

5

0

y

2 3
T bng bin thiờn ta cú: Pmin = 2 3
Cõu 12. Cho n l s nguyờn dng, tỡm n sao cho

loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 logn a 2019 = 10082 20172 loga 2019
A. 2017 .

B. 2019 .



)

2

VP (*) = 10082 20172 loga 2019 . Khi ú (*) c:

n 2 (n + 1)2 = 22.10082.20172 = 20162.20172 ị n = 2016 .

25x
.
25x + 5
ổ 1 ửữ
ổ 2 ửữ
ổ 3 ửữ
ổ 4 ửữ
ổ 2017 ửữ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + ... + f ỗỗ
ữ
Tớnh tng S = f ỗỗ
ỗố 2017 ứữ
ỗố 2017 ữứ
ỗố 2017 ữứ
ỗố 2017 ữứ
ỗố 2017 ữữứ .

Cõu 13. Cho hm s f (x ) =

S dng mỏy tớnh cm tay tớnh tng ta tớnh c kt qu: S = 1008.
Cõu 14. Cho f (x ) =

2016x

. Tớnh giỏ tr biu thc
2016x + 2016
ổ 1 ửữ
ổ 2 ửữ
ổ 2016 ửữ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + ẳ + f ỗỗ
ữ
S = f ỗỗỗ
ỗố 2017 ữứ
ỗố 2017 ữữứ
ố 2017 ữứ

A. S = 2016

B. S = 2017

C. S = 1008

2016

D. S =

Li gii
Chn

ổ 2015 ửữ
ổ 1008 ửữ
ổ 1009 ửữ
ữữ + ... + f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữ
+ f ỗỗỗ
ỗố 2017 ứữ
ỗố 2017 ữứữ = 1008 .
ố 2017 ứữ

(

)

Cõu 15. Giỏ tr nh nht ca hm s y = 20x 2 + 20x - 1283 e 40x trờn tp hp cỏc s t nhiờn l
B. -163.e 280 .

A. -1283 .

C. 157.e 320 .

D. -8.e 300 .

Li gii
Chn

B.

(

342
40

0 -

300
= 7, 5
40
0 +

+Ơ

Vy min y = -163.e 280 .
Cõu 16. Cho hm s f (x ) =

9x
.
9x + 3

Trang 7


ổ 1 ửữ
ổ 2 ửữ
ổ 3 ửữ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + ... + f (1)?
Tớnh tng S = f ỗỗ
ỗố 2007 ứữ

f (1 - x ) = 1-x
=
=
=
.
x
9
9 +3
9 + 3.9
9 + 3.9x
+3
9x
9x
1-x

ị f (x ) + f (1 - x ) =

ị

9
9x

9x
9
9x .(9 + 3.9x ) + 9.(9x + 3) 9x +1 + 3.92x + 9x +1 + 27
+
=
= x +1
= 1.
9x + 3 9 + 3.9x

ữữ + f ỗỗ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + ... + f (1) = 1 + 1 + ... + 1 +
S = f ỗỗỗ
= 1003 + =
.
ỗ
ỗ
9+3
4
4
ố 2007 ứữ
ố 2007 ứữ
ố 2007 ứữ

Cõu 17. Cho x , y l cỏc s dng tha món xy Ê 4y - 1 . Giỏ tr nh nht ca

P=

6 (2x + y )

A. 45 .

x

+ ln

x + 2y
l a + ln b . Giỏ tr ca tớch ab l
y



1
t 2 - 6t - 12
P = 6 ỗỗỗ2 + ữữữ + ln (t + 2) ị P ' (t ) = - 2 +
= 2
=0
t ứữ
t +2
t
t (t + 2)
ố

ộx = 3 - 21 ẽ D
ờ
ờ
ờx = 3 + 21 ẽ D
ở

Lp bng bin thiờn, t ú ta thy rng, trong khong (0; 4ựỳ thỡ hm P(t) nghch bin
ỷ

Trang 8


ỡ
ù
ùa = 27
27
nờn min P (t ) = P (4) =
+ ln 6 ị ù
ớ

Li gii

ỗố 2017 ứữ

ỗố 2017 ứữ

D. S = 2016 .

C. S = 1008 .

C.

Ta cú f (x ) =

1
1 + 2016

1
-x
2

.

Vi a + b = 1 ị f (a ) + f (b ) = 1.

ổ 1 ửữ
ổ 2 ửữ
ổ 2016 ửữ
ữữ + f ỗỗ
ữữ + ... + f ỗỗ


Li gii
Chn

B.

ổ b ửữ 7
ổ
ử
-1
ỗỗ ữ + = - log2 b + log b + 3 = - ỗỗlog b - 1 ữữ + 1 Ê 1
P=
+
log
a ỗ ữ
a
a
ỗố a
4
2 ữứữ
logb2 a
ốa ứữ 4
2

ị PMax = 1 .

Trang 9