Nghiên cứu triết học

Đề tài:" MỘT SỐ YẾU TỐ BÊN NGOÀI
TÁC ĐỘNG ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN CỦA
TOÁN HỌC " MỘT SỐ YẾU TỐ BÊN NGOÀI TÁC ĐỘNG ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN CỦA
TOÁN HỌC

LÊ VĂN ĐOÁN (*)
Tập trung phân tích sự tác động của thực tiễn xã hội, của các khoa học khác,
của văn hoá và triết học đến sự phát triển của toán học, tác giả đã khẳng
định: cũng như tất cả các khoa học khác, toán học không thể phát triển được
nếu không dựa vào các yếu tố bên ngoài này, nhất là triết học duy vật biện
chứng và đến lượt mình, sự phát triển của toán học đã dẫn đến sự hợp tác và
tương tác ngày càng sâu rộng hơn của nó với thực tiễn xã hội, với các ngành
khoa học khác, nhất là các ngành khoa học xã hội – những ngành mới đối với
các ứng dụng toán học.

tháp v.v Rõ ràng là, từ cội nguồn xuất phát đó, các phép đếm sơ đẳng và
những cách đo đạc đã được sử dụng trong nhiều thế kỷ. Nhưng cùng với sự
xuất hiện các nền văn minh, sự phát triển tiếp theo của toán học đã diễn ra
trong sự tác động qua lại, gắn bó hữu cơ với tự nhiên học.
Lịch sử toán học và văn hóa nói chung đã tích lũy được một khối tư liệu
khổng lồ, trong đó chứng tỏ một cách chắn chắc rằng, những khái niệm xuất
phát và những phương pháp của những ngành cổ xưa nhất của toán học có
nguồn gốc từ thực tiễn, cụ thể như số học và hình học. Trên thực tế, những
khách thể toán học trừu tượng, như các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số
thực, số ảo, các hình hình học, v.v. đã được hình thành dưới ảnh hưởng của các
nhu cầu sản xuất xã hội, kinh tế, kỹ thuật, thương mại, quân sự, v.v., và hiện
tại, đa số các nhà khoa học không phủ nhận điều đó.
Trong lịch sử khoa học, đặc biệt trong triết học, đã có không ít các nhà tư
tưởng xem xét sự xuất hiện của đối tượng toán học độc lập với bất cứ kinh
nghiệm và thực tiễn nào. Những quan điểm về tính chất tiên nghiệm của đối
tượng toán học đã được truyền bá rộng rãi trong triết học duy tâm, kể cả trong
xã hội hiện đại. Về vấn đề này, có những nhà hoạt động khoa học đã có quan
niệm sai lầm rằng, một khi những khách thể toán học mới được thiết lập cùng
với việc giải quyết những vấn đề của khoa học - kỹ thuật và tự nhiên, thì điều
đó dường như chứng tỏ toán học đã phát triển trên cơ sở những tài liệu của tự
nhiên học và các khoa học cụ thể khác chứ không phải từ sản xuất, kinh tế, kỹ
thuật, v.v Trên thực tế, các nhu cầu của sản xuất, kỹ thuật và kinh tế đã
thường xuyên được phản ánh thông qua các nhu cầu của các khoa học gần gũi
với sản xuất, nhưng chính điều đó lại hoàn toàn không phải là cơ sở để loại
trừ sự tác động của thực tiễn đối với sự ra đời của các khách thể toán học
mới. Đồng thời, nó cũng không chứng tỏ rằng, toán học được phát triển chỉ
dựa trên cơ sở những tư liệu của tri thức thuần túy. Điều quan trọng nhất là
chúng ta phải lý giải được sự cần thiết về việc tác động của các nhu cầu sản
xuất, kỹ thuật và kinh tế đối với sự phát triển của toán học. Sự tác động đó
đang trở nên gián tiếp và ngày càng phức tạp.

được quyết định trước hết bởi nhu cầu của cơ học, của thiên văn học và kỹ
thuật. Cụ thể hơn, vấn đề nghiên cứu sự vận động và quá trình biến đổi của
các sự vật, hiện tượng trong thế giới khách quan đã tạo ra sự phát triển đối với
các khoa học nói trên, trong đó hệ thống tri thức toán học về các đại lượng
biến thiên đã được thiết lập để phân tích chúng. Tiếp theo, nhu cầu của lực
lượng sản xuất cũng như việc chuyển từ lao động chân tay sang lao động cơ
khí trong xã hội tư bản đã kích thích cơ học và thiên văn học phát triển. Chính
những điều đó đã nói lên cuộc cách mạng mới nhất trong toán học, trong đó
phạm vi nghiên cứu của toán học đã được mở rộng. Toán học đã chuyển từ
việc nghiên cứu tính phụ thuộc giữa các đại lượng sang việc nghiên cứu các
cấu trúc trừu tượng của những hình dạng không gian và những quan hệ số
lượng phức tạp nhất. Việc thành lập bộ môn kỹ thuật điện toán đã mở rộng
một cách đáng kể khả năng áp dụng phương pháp toán học trong khoa học,
trong kinh tế và kỹ thuật. Có thể nói, sự phát triển của toán học ở một trình độ
cao hơn đã mang lại khả năng áp dụng các phương pháp toán học ngày càng
rộng rãi và rốt cuộc, đã dẫn đến cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện
đại.
Sự tác động của những yếu tố bên ngoài, như triết học và văn hóa tinh thần,
nhìn chung được thể hiện ở các nguyên tắc lập luận của toán học, ở bản chất
của những giá trị khoa học trong các lý thuyết toán học. Đặc biệt, sự tác động
đó còn thể hiện ở việc giải thích những vấn đề cơ bản nhất của toán học, như
mối quan hệ hữu cơ giữa vô hạn và hữu hạn, giữa biến thiên và bất biến, giữa
tất nhiên và ngẫu nhiên, v.v Trên thực tế, những vấn đề nói trên thường là vũ
đài của các cuộc tranh luận về các chương trình khác nhau của lập luận toán
học. Chẳng hạn, trong việc giải quyết các nghịch lý xuất hiện ở lý thuyết tập
hợp, bản thân triết học đã có vai trò rất lớn, nó đã chỉ rõ thực chất của các
cuộc tranh luận giữa các trường phái khác nhau về bản chất của tập hợp và
các trừu tượng toán học khác. Tiếp đó, trước sự phát minh ra hình học phi
Ơcơlit thì triết học tiên nghiệm và kinh nghiệm đã thể hiện rõ thái độ tiêu cực;
trái lại, chủ nghĩa duy vật biện chứng coi sự phát minh ra hình học phi Ơcơlit

giới hạn được thiết lập đã đánh dấu sự ra đời của bộ môn giải tích toán học.
Khái niệm “vô hạn tiềm năng” đã trở thành cơ sở của giải tích học. Song,
quan điểm của Cauchy về vô hạn đã không triệt để. Đầu tiên, ông chỉ ra rằng,
nếu một tập hợp những vật thể là vô hạn hay mỗi vật có thể phân chia thành
vô hạn thì đặc điểm số lượng của tập hợp tất cả những vật thể đó, cũng như
tập hợp những phần của một vật thể không thể biểu diễn bằng bất cứ số tự
nhiên nào. Đó là một quan điểm đúng và để mô tả cho nội dung của nó thì dứt
khoát phải sử dụng số vô hạn, nhưng Cauchy lại khẳng định rằng, không thể
có được ý kiến về số vô hạn những sự vật cùng tồn tại mà lại không rơi vào
mâu thuẫn hiển nhiên. Theo Cauchy, mâu thuẫn của khái niệm tập hợp vô hạn
là ở chỗ, nếu một tập hợp đối tượng là vô hạn thì ta có thể sắp đặt tất cả các
đối tượng đó theo một dãy nào đó và có thể đánh số chúng sao cho những số
hiệu của chúng lập thành một dãy số tự nhiên: 1, 2, 3,…, n,… và khi đó, phải
giả thiết rằng dãy số này kéo dài đến vô hạn. Cauchy cho rằng, điều giả thiết
này là vô lý. Ông đã lập luận như sau: nếu dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn
thì một mặt, có bao nhiêu số tự nhiên là có bấy nhiêu số tự nhiên chính
phương, bởi với mỗi số tự nhiên n tương ứng với một số n
2
và ngược lại. Mặt
khác, nếu số tự nhiên n càng lớn thì tỷ số giữa các số chính phương từ 1 đến n
càng trở nên nhỏ đi. Từ đó phải kết luận rằng, nếu dãy số tự nhiên có thể kéo
dài đến vô hạn thì bình phương của dãy số đó chỉ là một bộ phận vô cùng nhỏ
bé của nó. Theo Cauchy, chính giả thiết dãy số tự nhiên kéo dài đến vô hạn đã
dẫn đến mâu thuẫn quá rõ ràng, cho nên cần phải bác bỏ giả thiết đó. Đó là lý
do vì sao Cauchy không bao giờ nghiên cứu tính chất của tập hợp vô hạn. Đối
với ông, vô hạn chỉ là vô hạn tiềm năng. Kết luận của Cauchy không đúng ở
chỗ, đã xuất phát từ việc đồng nhất tính chất của những tập hợp vô hạn và tập
hợp hữu hạn một cách không có căn cứ. Điều khẳng định của Cauchy không
thể phủ nhận được tính khách quan của tập hợp vô hạn, mà chỉ chứng tỏ rằng,
các tập hợp hữu hạn và vô hạn có nhiều tính chất khác nhau. Chẳng hạn, điều

toán học có tính chất khách quan và phải được thực tiễn kiểm nghiệm, nên
chủ nghĩa duy vật luôn là cơ sở triết học của chúng. Những thành tựu rực rỡ
nhất của khoa học tự nhiên và toán học gắn liền với một thực trạng là, trong
thực tiễn hoạt động khoa học, các nhà bác học đã và đang được những quan
điểm duy vật về đối tượng nghiên cứu của mình chỉ đạo. Tiếp đó, chúng ta
nhận thấy rằng, trong bất cứ xã hội nào, đặc biệt là xã hội được xây dựng trên
cơ sở áp bức và bóc lột quần chúng lao động, bao giờ cũng có những người
tiến bộ so với thời đại của mình. Những người đó đã nhận thức rõ vai trò cao
cả của khoa học trong sự nghiệp phục vụ nhân dân một cách vô tư và kiên
quyết đấu tranh chống lại việc sử dụng khoa học vào mục đích có hại cho loài
người, đồng thời phản đối lại sự xuyên tạc nội dung của khoa học.
Toán học không bao giờ dừng chân tại chỗ, nó phát triển mạnh mẽ dưới ảnh
hưởng của thực tiễn và của các khoa học khác, cũng như những nhu cầu phát
triển nội tại. Sự phát triển của toán học, sự phát minh ra các công cụ toán học
mới phù hợp với những ứng dụng trong các lĩnh vực mới của khoa học đã tạo
khả năng cho toán học thâm nhập vào các ngành khoa học khác nhau.
Trong bối cảnh toàn cầu hóa hiện nay, không ai có thể nghi ngờ về vai trò
quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển
của khoa học, của kinh tế và kỹ thuật, v.v Chính sự thâm nhập ngày càng
sâu rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng
chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó, đặc biệt là khi loài người đã
bước sang thế kỷ XXI, kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh hưởng
mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của kinh tế tri thức là vai
trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ sản xuất và vị
trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách nguồn lực cơ bản tạo nên sự
tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế.
Chúng ta không thể phủ nhận được một thực tế là, kinh tế tri thức đã thúc đẩy
toán học phát triển lên một tầm cao mới. Sự phát triển đó là một đòi hỏi
khách quan, bởi trong nền kinh tế hiện đại luôn xuất hiện các yếu tố phi
tuyến, nghĩa là xuất hiện các mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụng

ngày càng sâu rộng hơn với các ngành khoa học khác, trong đó phải kể cả các
ngành khoa học xã hội - những ngành mới đối với các ứng dụng toán học.
Điều này đã được C.Mác nhấn mạnh trong các bản thảo toán học: “Một khoa
học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học”(3).r

(*) Tiến sĩ triết học, Phó trưởng khoa Giáo dục chính trị, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội.
(1) C.Mác và Ph.Ăngghen. Toàn tập, t.20. Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội,
1995, tr.659.
(2) Phan Đình Diệu. Công nghệ thông tin và ứng dụng toán học, t.1. Kỷ yếu
Hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất, 2000, tr.44.
(3) C.Mác. Các bản thảo toán học. Mátxcơva, 1968 (tiếng Nga).